pengalaman belajar matematika: Juli 2020

Nasywa Kayla Zahra
XI IPS 2
26
Assalamualaikum wr.wb

PEMBUKTIAN MATEMATIKA

Pembuktian langsung

Pembuktian langsung adalah metode pembuktian yang menggunakan alur maju.

Contoh:

“Bila n bilangan bulat dan 7n + 9 bilangan genap, maka n bilangan ganjil”

Maka yang kita buktikan adalah bila n bukan bilangan ganjil (bilangan genap), maka 7n + 9 bukan bilangan genap (bilangan ganjil).

https://blog.ruangguru.com/matematika-kelas-11-pembuktian-matematika?hs_amp=true

Bukti langsung ini biasanya diterapkan untuk membuktikan teorema yang berbentuk implikasi pq. Di sini p sebagai hipotesis digunakan sebagai fakta yang diketahui atau sebagai asumsi. Selanjutnya, dengan menggunakan p kita harus menunjukkan berlaku q. Secara logika pembuktian langsung ini ekuivalen dengan membuktikan bahwa pernyataan p  q benar dimana diketahui p benar.

Contoh Buktikan, jika x bilangan ganjil maka x2 bilangan ganjil.

Bukti. Diketahui x ganjil, jadi dapat ditulis sebagai x = 2n - 1 untuk suatu bilangan

bulat n. Selanjutnya,

x2 = (2n - 1)2 = 4n2 + 4n + 1 = 2 (2n2 + 2) +1 = 2m + 1:

m Karena m merupakan bilangan bulat maka disimpulkan x2 ganjil.

https://media.neliti.com/media/publications/120715-ID-metoda-pembuktian-dalam-matematika.pdf

contoh soal

soal 1

Jika diketahui n adalah ganjil, maka n² adalah .....

A. Ganjil

B. Genap

C. konstanta

D. A dan B benar

E. Tidak ada jawaban yang benar

Jawaban : A. Ganjil

Diketahui n adalah ganjil, artinya terdapat suatu bilangan bulat k sehingga

n = 2k + 1. Akan ditunjukkan bahwa n² ganjil.

n² = (2k + 1)²

= 4k² + 4k + 1

= 2(2k² + 2k) +1.

Perhatikan bahwa n² = 2(2k² + 2k) +1.Karena k adalah bilangan bulat, maka (2k² + 2k) juga pasti bilangan bulat, sehingga n² adalah ganjil.

Soal 2

Apakah N³ + 2n adalah kelipatan 3 berlaku untuk n = 1 dan berlaku kelipatan 3 untuk setiap bilangan bulat postitif n (menggunakan induksi matematika)…?

A. ya dan ya

B. ya dan tidak

C. tidak dan bisa jadi

D. tidak dan tidak

E. tidak ada jawaban yang benar

Jawaban : A. Ya dan ya

q Basis untuk n = 1 akan diperoleh :

13 + 2(1) = 3 yang merupakan kelipatan 3 (ya, berlaku n = 1)

q induksi (misalkan) untuk n = k asumsikan menjadi k³ + 2k = 3x

q adib untuk n = k + 1 berlaku :

(k + 1)³ + 2(k + 1) adalah kelipatan 3

(k³ + 3k² + 3k+1) + 2k + 2

(k³ + 2k) + (3k² + 3k + 3)

(k³ + 2k) + 3 (k² + k + 1)

induksi

3x + 3 (k² + k + 1)

3 (x + k² + k + 1)

Kesimpulan : N³ + 2n adalah kelipatan 3 untuk setiap bilangan bulat positif n (ya, berlaku kelipatan 3).

http://riooctaviano36.blogspot.com/2015/11/10-contoh-soal-logika-pembuktian.html?m=1

Contoh : Buktikan bahwa : “jika n bilangan ganjil, maka n² bilangan ganjil”.

Bukti : Diketahui bahwa n bilangan ganjil, maka dapat dituliskan n = 2k+1,

dengan k bilangan bulat

sehingga n² = (2k+1) 2 = 4k² + 4k + 1 = 2(2k²+2k) + 1

Bentuk 2(2k²+2k) + 1 adalah bilangan ganjil

Jadi n² bilangan ganjil

http://atikazfblog.blogspot.com/2017/07/logika-matematika-metode-pembuktian.html?m=1

Definisi

Suatu bilangan bulat n disebut bilangan GENAP jika terdapat suatu bilangan bulat k, sehingga

n = 2k.

Contoh

6 adalah genap, sebab terdapat 3 sehingga

6 = 2(3)

-4 adalah genap, sebab terdapat (-2) sehingga -4 = 2(3)

Contoh

Tunjukkan setidaknya ada 4 hari yang sama dari 22 hari.

Jawab

Misal p = “setidaknya 4 dari 22 hari adalah hari yang sama”

Andaikan –p bernilai benar, artinya paling banyak hanya ada 3 hari yang sama dari 22 hari.

Ada 7 hari dalam sepekan, itu artinya paling banyak 21 hari bisa dipilih karena untuk setiap hari dalam sepekan, paling banyak tiga hari yang dipilih bisa jatuh pada hari itu.

Ini kontradiksi dengan kenyataan bahwa kita memiliki 22 hari.

Artinya jika r = “22 hari yang dipilih”, maka telah ditunjukkan bahwa –p

(r  -r).

Artinya p bernilai benar.

http://onggo.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/45225/4%2C5+Logika+Pembuktian+%28ppt%29+-+Onggo+Wiryawan.pdf

PEMBUTIAN TIDAK LANGSUNG

Kontraposisi adalah salah satu metode pembuktian tidak langsung. Kontraposisi memanfaatkan salah satu prinsip dalam logika matematika yaitu

Artinya, kalau mau membuktikan pernyataan p akan menghasilkan pernyataan q itu benar, maka buktikan saja bila bukan q maka akan menghasilkan bukan p. Untuk memahami lebih lanjut coba deh buktikan

“Bila n bilangan bulat dan 7n + 9 bilangan genap, maka n bilangan ganjil”

Gimana nih membuktikannya pakai kontraposisi? Misalnya pernyataan p adalah 7n + 9 bilangan genap dan pernyataan q adalah n bilangan ganjil. Maka yang kita buktikan adalah bila n bukan bilangan ganjil (bilangan genap), maka 7n + 9 bukan bilangan genap (bilangan ganjil).

Coba deh lihat gambar di bawah.

1) Kontraposisi

Pembuktian tidak langsung kontraposisi digunakan untuk membuktikan pernyataan implikasi

Untuk membuktikan pernyataan implikasi kita cukup membuktikan kontraposisi dari implikasi pernyataan tersebut

Secara simbolik : p → q ≡ ~q → ~p

Untuk membuktikan kebenaran p → q, maka kita cukup membuktikan

kebenaran ~q → ~p

Contoh : Buktikan bahwa: “jika n² bilangan ganjil, maka n bilangan ganjil”.

Bukti : Untuk membuktikan pernyataan tersebut kita akan membuktikan

kebenaran kontraposisinya.

Misalnya : p = n² bilangan ganjil dan q = n bilangan ganjil

Apakah p → q benar ? Kita akan periksa apakah ~q → ~p benar ?

Andaikan n bukan bilangan ganjil, maka nbilangan genap, sehingga n dinyatakan dengansebagai n = 2k, k bilangan asli.

Akibatnya n² = (2k)² = 4k² = 2(2k²).

Artinya n² bilangan genap.

Jadi pengandaian bahwa n bukan bilangan ganjil adalah BENAR,

sehingga kontraposisi ~q →~p juga BENAR.

Jadi implikasi p → q benar , ini berarti n²bilanganganjil maka n adalah

bilangan ganjil.

http://atikazfblog.blogspot.com/2017/07/logika-matematika-metode-pembuktian.html?m=1

Kontradiksi

Pembuktian tidak langsung dengan kontradiksi dilakukan dengan mengandaikan konklusi yang salah dan menemukan suatu hal yang bertentangan dengan fakta, aksioma, atau teorema yang ada. Pengandaian konklusi salah tidak bisa diterima dan akibatnya konklusi yang ada benar berdasarkan premis yang ada

Contoh : Buktikan bahwa : “Untuk semua bilangan bulat n, jika n² ganjil, maka n ganjil”.

Bukti : Andaikan bahwa q salah, atau ~q benar yaitu n bukan bilangan bulat

ganjil, maka n bilangan bulat genap.

Dapat dimisalkan n = 2k dengan k bilangan bulat.

Dengan demikian maka n² = (2k)² atau n² = 4k²

Ini menunjukkan bahwa n² = bilangan bulat genap (~p)

Terjadilah suatu kontradiksi : yang diketahui pbenar, sedangdari langkah-langkah logis diturunkan ~p benar.

Oleh karena itu kontradiksi tidak boleh terjadi, maka pengandaian harus diingkar yang berarti ~q salah atau q benar.

Contoh Soal.

· Buktikan untuk setiap n bilangan bulat, jika n ganjil maka n² juga ganjil.

Jawaban : Kita akan membuktikan pernyataan implikasi p → q dengan :

p : n bilangan bulat ganjil,

q : n² bilangan bulat ganjil

Kita awali dengan mengasumsikan ingkarannya benar (p ∩ ∼ q ) yaitu :

p : n bilangan bulat ganjil,

∼ q : n² bilangan bulat genap.

Karena n bilangan bulat ganjil maka bisa kita asumsikan n = 2k + 1 dengan k bilangan bulat. Sehingga :

n² = (2k +1)² = 4k² + 4k + 1 = 2 (2k² + 2k) + 1, Jika kita asumsikan 2k² + 2k = m, Maka persamaan menjadi :

n² = 2m + 1, dari sini bisa dilihat bahwa n² adalah bilangan bulat ganjil. Sehingga kontradiksi dengan asumsi bahwa n² bilangan bulat genap. Asumsi kita salah maka pernyataan semula pastilah benar. Jadi terbukti bahwa untuk setiap n bilangan bulat, jika n ganjil maka n² juga ganjil.

· Buktikan untuk setiap n bilangan bulat, jika n genap maka n² juga genap

Jawaban : Kita akan membuktikan pernyataan implikasi p → q dengan :

p : n bilangan bulat genap,

q : n² bilangan bulat genap

Kita awali dengan mengasumsikan ingkarannya benar (p ∩ ∼ q ) yaitu :

p : n bilangan bulat genap,

∼ q : n² bilangan bulat ganjil.

Karena n bilangan bulat genap maka bisa kita asumsikan n = 2k dengan k bilangan bulat. Sehingga :

n² = (2k)² = 4k² = 2 (2k²), Jika kita asumsikan 2k² = m, Maka persamaan menjadi :

n² = 2m, dari sini bisa dilihat bahwa n² adalah bilangan bulat genap. Sehingga kontradiksi dengan asumsi bahwa n² bilangan bulat ganjil. Asumsi kita salah maka pernyataan semula pastilah benar. Jadi terbukti bahwa untuk setiap n bilangan bulat, jika n genap maka n² juga genap.

· Buktikan √6 adalah bilangan irasional.

Jawaban : Pembuktian dengan kontradiksi, kita asumsikan √6 adalah bilangan rasional.

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai a ⁄ b di mana a, b bilangan bulat dan b tidak sama dengan 0. Agar dapat dinyatakan sebagai a ⁄ b maka secara otomatis faktor persekutuan terbesar a dan b adalah 1. Yang berarti bahwa gcd(a,b) = 1. Sehingga :

√6 = a ⁄ b

(√6)² = (a ⁄ b)² ⇒ 6 = a²/b² ⇒ 6b² = a² ⇒ 2(3b²) = a². Jika kita asumsikan m= 3b², maka :

2(3b²) = a² ⇒ 2m = a² Dari sini kita tahu bahwa a² adalah bilangan genap berarti a juga bilangan genap. Karena a bilangan genap berarti b ganjil, sebab a dan b saling prima. Kita asumsikan a = 2k, k bilangan bulat.

6b² = a² ⇒ 2(3b²) = (2k)² = 4k² = 2(2k²), Jika kita asumsikan n=k², maka :

3b² = 2n, dari sini dapat dilihat bahwa b² adalah bilangan genap, berarti b juga bilangan genap sehingga kontradiksi dengan asumsi bahwa b ganjil. Hal ini membuktikan bahwa asumsi √6 adalah bilangan rasional adalah salah sehingga √6 adalah bilangan irasional terbukti benar.

· Buktikan untuk setiap a, b bilangan bulat, a² – 4b – 2 ≠ 0

Jawaban : Pembuktian dengan kontradiksi, asumsikan untuk setiap a, b bilangan bulat maka a² – 4b – 2 = 0 sehingga :

a² – 4b – 2 = 0 ⇒ a² = 4b + 2 ⇒ a² = 2(2b + 1) , jika kita asumsikan 2b + 1 = m, maka

a² = 2(2b + 1) = 2m Dari sini kita tahu bahwa a² adalah bilangan genap sehingga a juga bilangan genap. Karena a bilangan genap maka kita asumsikan a = 2k , dengan k bilangan bulat. Sehingga persamaannya menjadi :

a² = 2(2b + 1) ⇒ (2k)² = 2(2b + 1) ⇒ 4k² = 2(2b + 1) ⇒ 2k² = 2b + 1 ⇒ 2k² – 2b = 1

2k² – 2b = 1 ⇒ 2(k² – b) = 1 , Kita asumsikan k² – b = n sehingga persamaannya menjadi :

2(k² – b) = 1 ⇒ 2n = 1 Dari sini kita dapatkan bahwa 1 adalah bilangan genap sedangkan kenyataannya 1 adalah bilangan ganjil sehingga terdapat sebuah kontradiksi. Asumsi kita salah. Sehingga terbukti bahwa untuk setiap a, b bilangan bulat, a² – 4b – 2 ≠ 0.

· Buktikan untuk setiap a, b bilangan bulat, a² – 4b – 3 ≠ 0

Jawaban : Pembuktian dengan kontradiksi, asumsikan untuk setiap a, b bilangan bulat maka a² – 4b – 3 = 0 sehingga :

a² – 4b – 3 = 0 ⇒ a² = 4b + 3 ⇒ a² = 4b + 2 + 1 ⇒a² = 2(2b + 1) + 1

Jika kita asumsikan 2b + 1 = m, maka :

a² = 2(2b + 1) + 1 = 2m + 1 Dari sini kita tahu bahwa a² adalah bilangan ganjil sehingga a juga bilangan ganjil. Karena a bilangan ganjil maka kita asumsikan a = 2k + 1 , dengan k bilangan bulat. Sehingga persamaannya menjadi :

a² = 4b + 3 ⇒ (2k + 1)² = 4b + 3 ⇒ 4k² + 4k + 1 = 4b + 3

4k² + 4k -4b = 3 – 1 ⇒ 2(2k² + 2k – 2b) = 2 ⇒ 2k² + 2k – 2b= 1 ⇒ 2(k² + k – b) = 1

Kita asumsikan k² + k – b = n sehingga persamaannya menjadi :

2(k² + k – b) = 1 ⇒ 2n = 1 Dari sini kita dapatkan bahwa 1 adalah bilangan genap sedangkan kenyataannya 1 adalah bilangan ganjil sehingga terdapat sebuah kontradiksi. Asumsi kita salah. Sehingga terbukti bahwa untuk setiap a, b bilangan bulat, a² – 4b – 3 ≠ 0.

https://konsen.wordpress.com/2017/09/12/contoh-soal-soal-pembuktian-matematika-lanjut/

INDUKSI MATEMATIKA

Deskripsi

Induksi matematika merupakan pembuktian deduktif, meski namanya induksi. Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan-pernyataan yang menyangkut bilangan-bilangan asli. Induksi matematika terbagi 2 yaitu umum dan kuat.

Jenis Induksi Matematika

1. Deret Bilangan

$3^{2n} + 2{2n + 2}$

Sebagai ilustrasi dibuktikan secara induksi matematika bahwa $1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{1}{2}n(n + 1)$ .

§ Langkah 1

untuk n = 1, maka :

$1 = \frac{1}{2}n(n + 1)$

$1 = \frac{1}{2}(1)(1 + 1)$

1 = 1

Bentuk untuk n = 1 rumus tersebut benar.

§ Langkah 2

Misal rumus benar untuk n = k, maka:

$1 + 2 + 3 + \cdots + k = \frac{1}{2}k(k + 1)$

§ Langkah 3

Akan dibuktikan bahwa rumus benar untuk n = k + 1. Sehingga:

$1 + 2 + 3 + \cdots + k + (k + 1) = \frac{1}{2} (k + 1)((k + 1) + 1)$

Pembuktiannya:

ditambah k + 1)

$= \frac{1}{2}k (k + 1) +\frac{1}{2} [2(k + 1)]$ . (k + 1) dimodifikasi menyerupai $\frac{1}{2} k (k + 1)$ )

$= \frac{1}{2}[k(k + 1) + 2(k + 1)]$ (penyederhanaan)

$= \frac{1}{2}(k^2 + k + 2k + 2)$

$= \frac{1}{2}(k^2 + 3k + 2)$

$1 + 2 + 3 + \cdots + k + (k + 1) = \frac{1}{2} (k + 1)(k + 2)$ (terbukti)

2. Bilangan bulat hasil pembagian

Suatu bilangan dikatakan habis dibagi jika hasil pembagian tersebut adalah bilangan bulat. Sebagai ilustrasi, dibuktikan secara induksi matematika bahwa $5^{2n} + 3n - 1$ habis dibagi 9.

§ Langkah 1

untuk n = 1, maka:

= 27

27 habis dibagi 9, maka n = 1 benar.

§ Langkah 2

Misal rumus benar untuk n = k, maka :

$5^{2n} + 3n -1 \overset {menjadi}{\rightarrow} 5^{2k} + 3k - 1$ (habis dibagi 9)

$5^{2k} + 3k - 1 =9b$ (b merupakah hasil bagi $5^{2k} + 3k - 1$ oleh 9)

§ Langkah 3

Akan dibuktikan bahwa rumus benar untuk n = k + 1. Pembuktian:

$5^{2(k + 1)} + 3(k + 1) - 1$

$= 5^{2k + 2} + 3k + 3 - 1$

kemudian $(5^{2k})$ dimodifikasi dengan memasukan $5^{2k} + 3k - 1$ .

$= 25 (5^{2k} + 3k - 1) - 75k + 25 + 3k + 3 -1$

$= 25(5^{2k} + 3k -1) - 72k + 27$

akan habis dibagi oleh 9 (terbukti)

Contoh Soal Induksi Matematika dan Pembahasan

Contoh Soal 1

Buktikan bahwa $1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \frac{1}{4} n^2 (n + 1)^2$ .

Pembahasan:

§ Langkah 1

$1^3 = \frac{1}{4}(1)^2(1 + 1)^2 = \frac{2^2}{4}$

(terbukti)

§ Langkah 2 (n = k)

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 = \frac{1}{4}k^2(k + 1)^2$

§ Langkah 3 (n = k + 1)

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3(k + 1)^3 = \frac{1}{4}(k + 1)^2 (k + 2)^3$ .

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1 )^3 + (k + 1)^3 = \frac{1}{4}k^2(k + 1)^2 + (k + 1)^3$ (kedua ruas ditambah

Contoh Soal 2

Buktikan bahwa

$\frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \cdots + \frac{n}{2^n} = 2 - \frac{n + 2}{2^n}$

Pembahasan:

§ Langkah 1

$\frac{1}{2} = 2 - \frac{(1)+2}{2^1} = 2 - \frac{3}{2}$

$\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ (terbukti)

§ Langkah 2 (n = k)

$\frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \cdots + \frac{2}{2^k} = 2 - \frac{k + 2}{2^k}$

§ Langkah 3 (n = k + 1)

Dibuktikan dengan:

(kedua ruas dikali $\frac{k+1}{2^{k+1}}$ )

$= 2 - \frac{2(k + 2)}{2^{(k + 1)}} + \frac{k + 1}{2^{k +1}}$ (2^k dimodifikasi menjadi 2^k+1)

$= 2 -\frac{2k + 4}{2^{(k + 1)}} + \frac{k + 1}{2^{k + 1}}$

(terbukti)

Contoh Soal 3

Buktikan bahwa

habis dibagi 5.

Pembahasan:

§ Langkah 1

habis dibagi 5 (terbukti)

§ Langkah 2 (n = k)

$3^{2k} + 2^{2k+2}$

§ Langkah 3 (n = k + 1)

$3^{2(k+1)} + 2^{2(k+1)+2}$

$= 3^{2k+2} + 2^{2k+2+2}$

$= 3^2(3^{2k}) + 2^2(2^{2k+2})$ (dalam kurung dibuat sama

dengan bentuk soal)

$=10(3^{2k}) + 5(2^{2k+2}) - 3^{2k} - 2^{2k+2}$ (

dibuat 10 dan

dibuat 5, agar bisa dibagi 5)

$= 10(3^{2k}) + 5(2^{2k+2}) - (3^{2k} + 2^{2k+2})$

https://www.studiobelajar.com/induksi-matematika/

pengalaman belajar matematika

Minggu, 26 Juli 2020

metode pembuktian dalam matematika