pengalaman belajar matematika: Juni 2020

Nasywa Kayla
27
X IPS 2

REMEDIAL PAT MATEMATIKA

Perbandingan trigonometri

Seekor kelinci yang berada di lubang tanah tempat persembunyiannya melihat seekor elang yang sedang terbang dengan sudut

∘

60∘ (lihat gambar). Jika jarak antara kelinci dan elang adalah

18 meter, maka tinggi elang dari atas tanah adalah

⋯

⋅

⋯⋅ meter.

Jika dilihat dari gambar, sisi depan sudut

∘

60∘ ditanyakan panjangnya dan sisi miring segitiga (hipotenusa) diketahui panjangnya. Dengan demikian, perbandingan trigonometri yang dapat digunakan adalah sinus, yakni

sin

∘

√

sin⁡60∘=x18123=x18x=18×123=93

Jadi, tinggi elang dari atas tanah adalah

√

93 meter.

(Jawaban D)

Sudut berelasi

Jika sin 30° =½ maka cos 300°=

Jawab :

cos 300°

= cos (360° - 60°)

= cos 60°

= cos (90° - 30°)

= sin 30°

= 1/2

Aturan sinus cosinus dan luas segitiga

1. Diketahui segitiga abc dengan ab= 6 cm,ac= 8 cm sudut a= 150 derajat. Luas segitiga abc

jawab :

L = ½.ab.ac.Sin a

L = ½.6.8.Sin 150°

L = 12 cm²

2. Dalam sebuah segitiga ABC diketahui besar sudut B dan C berturut-turut yaitu 30o dan 37o. Jika panjang sisi di antara dua sudut tersebut yaitu 8 cm, maka tentukanlah luas segitiga tersebut.

Pembahasan :

Dik : B = 30o, C = 37o, a = 8 cm

Dit : L = .... ?

Langkah pertama kita tentukan besar sudut A :

⇒ A + B + C = 180o

⇒ A = 180o - (B + C)

⇒ A = 180o - (30o + 37o)

⇒ A = 180o - 67o

⇒ A = 113o

Berdasarkan rumus di atas :

⇒ L = a2 sin B sin C

2 sin A

⇒ L = 82 sin 30o sin 37o

2 sin 113o

⇒ L = 64 (0,5) (0,6)

2 (0,92)

⇒ L = 19,2

1,84

⇒ L = 10,42 cm

Jadi, luas segitiga tersebut yaitu 10,42 cm.

Persamaan trigonometri

1. Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari sin x = ½ …..

Grafik trigonometri

Perhatikan gambar di bawah!

Persamaan grafik fungsi pada gambar di atas adalah ….
A. y = – 2 Sin(3x + 45)^o
B. y = – 2 Sin(3x – 45 )^o
C. y = – 2 Sin(3x – 45 )^o
D. y = 2 Sin(3x + 15)^o
E. y = 2 Sin(3x – 45 )^o
Pembahasan:
Berdasarkan grafik fungsi trigonometri pada soal dapat diperoleh informasi:

Nilai Amplitudo: A = 2

Periode dari 15^o sampai 135^o adalah 1, sehingga:

Grafik fungi trigonometri pada soal merupakan grafik dasar fungsi sinus y = Sin x yang digeser ke kana sejauh 15^o.

Persamaan umum fungsi sinus adalah:

Jadi, persamaan grafik fungsi trigonometri yang sesuai dengan gambar pada soal adalah:

Jawban: E

Nyatakan sudut 50° dan 89° ke dalam radian!

Penyelesian:

50° = 50° x π/180°

50° = 0,277π

50° = 0,277 (3,14)

50° = 0,87 radian

89° = 89° x π/180°

89° = 0,494π

89° = 0,494 (3,14)

89° = 1,55 radian

Contoh Soal 2

Nyatakan sudut 0,45 radian dan 0,89 radian ke dalam satuan derajat!

Penyelesaian:

0,45 radian = 0,45 x 180°/π

0,45 radian = 25,80°

0,89 radian = 0,89 x 180°/π

0,89 radian = 51,02°

Contoh Soal 3

Sebuah kipas angin berputar dengan kecepatan 36 putaran per menit. Nyatakan kecepatan putaran kipas angin tersebut ke dalam satuan radian per detik!

Penyelesaian:

36 putaran/menit = 36 x 2π/60 putaran/detik

36 putaran/menit = 1,2π putaran/detik

Jadi 36 putaran per menit sama dengan 1,2π putaran per detik.

Jika sin 30° =½ maka cos 300°=

Jawab :

cos 300°

= cos (360° - 60°)

= cos 60°

= cos (90° - 30°)

= sin 30°

= 1/2

3.8 Menyelesaikan persamaan trigonometri sederhana atau persamaan indentitas trigonometri = rumus identitas trigonometri

Buktikan bahwa persamaan identitas trigonometri di bawah adalah benar!

\[ 1 - \frac{cos^{2} \alpha}{1 + sin \alpha} = sin \alpha \]

Bukti:

\[ 1 - \frac{cos^{2} \alpha}{1 + sin \alpha} = 1 - \frac{1 - sin^{2} \alpha}{1 + sin \alpha} \]

\[ 1 - \frac{cos^{2} \alpha}{1 + sin \alpha} = 1 - \frac{\left( 1 - sin \alpha \right) \left( 1 + sin \alpha) \right)}{1 + sin \alpha} \]

\[ 1 - \frac{cos^{2} \alpha}{1 + sin \alpha} = 1 - \left( 1 - sin \alpha \right) \]

\[ 1 - \frac{cos^{2} \alpha}{1 + sin \alpha} = 1 - 1 + sin \alpha \]

\[ 1 - \frac{cos^{2} \alpha}{1 + sin \alpha} = sin \alpha \]

3.8 Menyelesaikan koordinat kutub ke koordinat kartesius, koordinat kartesius ke koordinata kutub

Jika titik P(4,45°) dinyatakan dengan sistem koordinat Cartesius, maka hasilnya adalah

Jawab:

x = r . cos a

x = 4 . cos 45°

x = 4 . 1/2 √2

x = 2 √2

y = r . sin a

y = 4 . sin 45°

y = 4 . 1/2 √2

y = 2 √2

(2√2, 2√2)

3.7 Menyelesaikan sudut elevasi, sudut depresi

1. Budi melihat puncak menara dengan sudut elevasi 30°. Jika jarak antara Budi dan menara yang dilihatnya adalah 150 m dan tinggi Budi adalah 120 cm maka tinggi menara tersebut adalah …

Jawab

tan 30⁰ = \frac{x}{150}

\frac{1}{3} \sqrt{3} = \frac{x}{150}

x = \frac{1}{3} \sqrt{3} . 150

x = 50√3

Jadi tinggi menara adalah

= x + tinggi Budi

= 50√3 m + 120 cm

= 50√3 m + 1,2 m

= (50√3 + 1,2) m

2. Seorang anak dengan tinggi 160 cm berdiri pada jarak 12 m dari kaki tiang bendera. Jika sudut depresi dari puncak tiang terhadap anak adalah 45° maka tinggi tiang bendera itu adalah …

Jawab

tan 45⁰ = \frac{x}{12}

1 = \frac{x}{12}

x = 12

Jadi tinggi tiang bendera adalah

= x + tinggi anak

= 12 m + 160 cm

= 12 m + 1,6 m

= 13,6 m

3.8 Menyelesaikan rasio trigonometri untuk sudut-sudut di berbagai kuadran

Jika sin a = 1/2 , a di kuadran II , maka nilai dari tan a

Jawab :

\sin A=\frac{1}{2}\\\frac{a}{c}=\frac{1}{2}\\\\a=1\\c=2\\b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}\\\\\tan A=-\frac{a}{b}\\\tan A=-\frac{1}{\sqrt3}\\\tan A=-\frac{1}{3}\sqrt3(\text{Negatif karena berada di kuadran II})

3.7.2 Menyelesaikan rasio trigonometri (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen) pada sudut istimewa (60⁰ , 30⁰ , 45⁰ )

Contoh Soal 1

sin [-30°] = - sin 30°
= - 1/2

Contoh Soal 2

cos [-60°] = cos 60°
= 1/2

Contoh Soal 3

tan [-45°] = - tan 45°
= - 1

3.7 Menyelesaikan komposisi operasi (+, -, :, dan •) nilai trigonometri

Contoh Soal 1

Tentukanlah nilai berikut ini.

a. cos 120º sin 60º

b. sin 75º cos 15º

Jawab

a. cos 120º sin 60º = ½ (sin (A + B) - sin (A - B))

= ½ (sin (120º + 60º) - sin (120º - 60º))

= ½ (sin (180º) - sin (60º))

= ½ (0 - ½√3)

= ½ (-½√3)

= -¼√3

b. sin 75º cos 15º = ½ (sin (A + B) + sin (A - B))

= ½ (sin (75º + 15º) + sin (75º - 15º))

= ½ (sin (90º) + sin (60º))

= ½ (1 + ½√3)

= ½ + ¼√3

Contoh soal 2

Tentukanlah nilai berikut ini.

a. 2 sin 52,5º sin 7,5º

b. 2 cos 52,5º cos 7,5º

Jawab

a. 2 sin 52,5º sin 7,5º = 2 × ½ (cos (A - B) - cos (A + B))

= (cos (52,5º - 7,5º) - cos (52,5º + 7,5º))

= (cos (45º) - cos (60º))

= ½√2 - ½

b. 2 cos 52,5º cos 7,5º = 2 × ½ (cos (A + B) + cos (A - B))

= (cos (52,5º + 7,5º) + cos (52,5º - 7,5º))

= (cos (60º) + cos (45º))

= ½ + ½√2

3.8 Menyelesaikan rasio trigonometri untuk sudut-sudut di berbagai kuadran

Contoh Soal 1

Untuk perbandingan trigonometri berikut, nyatakanlah dalam perbandingan trigonometri sudut komplemennya
sin 50°
tan 40°
cos 35°
Jawab :
sin 50° = sin (90° − 400°) = cos 40°
tan 40° = tan (90° − 50°) = cot 50°
cos 35° = cos (90° − 55°) = sin 55°
Ketiganya bernilai positif, karena sudut 50°, 40° dan 35° berada di kuadran I.

Contoh Soal 2

Nyatakan tiap perbandingan trigonometri berikut di dalam sudut 37° !
tan 153°
sin 243°
cos 333°
Jawab :
Sudut 153° adapada kuadran II, hingga tan 153° memiliki nilai negatif.
tan 153° = tan (180° − 27°) = -tan 27°
Sudut 243° ada pada kuadran III, sehingga sinus memiliki nilai negatif.
sin 243° = sin (270° − 27°) = -cos 27°
Sudut 333° ada pada kuadran IV, hingga cosinus memiliki nilai positif.
cos 333° = cos (360° − 27°) = cos 27°

3.8 Menyelesaikan rasio trigonometri untuk sudut-sudut berelasi (kuadrat: I, II, III, IV), sudut negatif, dan sudut > 360⁰

Contoh Soal 1

Untuk perbandingan trigonometri berikut, nyatakanlah dalam perbandingan trigonometri sudut komplemennya
sin 30°
tan 40°
cos 53°
Jawab :
sin 30° = sin (90° − 70°) = cos 70°
tan 40° = tan (90° − 50°) = cot 50°
cos 53° = cos (90° − 37°) = sin 37°
Apabila diperhatikan pada sin yang berubah menjadi cos, kemudian tan berubah jadi cot sedangkan cos berubah menjadi sin karena relasi yang dipaka adalah (90° − α) dan ketiga perbandingan trigonometri bernilai positif, karena sudut 30°, 40° dan 53° berada di kuadran I.

Contoh Soal 2
Nyatakan tiap perbandingan trigonometri berikut di dalam sudut 37° ini:
tan 140°
sin 230°
cos 320°

Jawab :
Sudut 140° ada pada kuadran II, hingga tan 140° memiliki nilai negatif.
tan 140° = tan (180° − 37°) = -tan 37°
Sudut 230° ada pada kuadran III, sehingga sinus memiliki nilai negatif.
sin 230° = sin (270° − 37°) = -cos 37°

3.8 Menyelesaikan persamaan trigonometri sederhana atau persamaan indentitas trigonometri = rumus identitas trigonometri

Contoh Soal 1

Jika cos2A=−725 untuk 180∘≤2A≤270∘, maka ⋯⋅

Diketahui cos2A=−7/25.
Karena 180∘≤2A≤270∘, maka dengan membagi 2pada ketiga ruasnya, diperoleh
90∘≤A≤135∘.
Jadi, A berada di kuadran II.
Perhatikan bahwa cos2A=2cos2A−1.
cos2A=−7/25

2cos2A−1=−7/25

cos2A=9/25

cosA=−35
cosA bernilai negatif karena A berada di kuadran II

Diketahui: sa=3 dan mi=5. Dengan pendekatan segitiga siku-siku dan rumus Pythagoras, diperoleh
de=√52−32=4
Dari sini, diperoleh
sinA=de/mi=4/5

tanA=−de/sa=−4/3

cscA=mi/de=5/4

3.8 Menyelesaikan Koordinat kutub ke koordinat kartesius, koordinat kartesius ke koordinat kutub

Contoh Soal 1

Konversikan koordinat kartesius P (4,-3) menjadi koordinat kutub!
Penyelesaian:
Diketahui: x = 4 dan y = -3

maka r = √x²+y² = √4²+(-3)² = √25 = 5

α = tan^-1 (y/x) = tan^-1 (-3/4)
= -36,69 ° atau -37°
Jadi koordinat kutubnya (5, -37°).

Contoh Soal 2

Konversikan koordinat kartesius P (6,8) menjadi koordinat kutub!
Penyelesaian:
Diketahui: x = 6 dan y = 8

maka r = √x²+y² = √6²+8² = √100 = 10

α = tan^-1 (y/x) = tan^-1 (8/6)
= 53,13 ° atau 53°
Jadi koordinat kutubnya (10, 53°).

Contoh Soal 3

Konversikan koordinat kutub P (10,60°) menjadi koordinat kartesius!
Penyelesaian:
Diketahui: r = 10 dan α = 60°

maka x = r . Cos α = 10 . cos 60°
= 10 . 1/2= 5
dan y = r . Sin α = 10 . Sin 60°
= 10 . 1/2√3= 5√3

Jadi koordinat kartesiusnya (5, 5√3).

Contoh Soal 4

Konversikan koordinat kutub P (20,53°) menjadi koordinat kartesius!
Penyelesaian:
Diketahui: r = 20 dan α = 53°

maka x = r . Cos α = 20 . cos 53°
= 20 . 0,6= 12
dan y = r . Sin α = 20 . Sin 53°
= 20 . 0,8 = 16

Jadi koordinat kartesiusnya (12, 16).

pengalaman belajar matematika

Selasa, 16 Juni 2020

soal PHB

Senin, 15 Juni 2020

soal trigonometri