27
X IPS 2
REMEDIAL PAT MATEMATIKA
Perbandingan trigonometri
Seekor kelinci yang berada di lubang tanah tempat persembunyiannya melihat seekor elang yang sedang terbang dengan sudut
60
∘
60∘ (lihat gambar). Jika jarak antara kelinci dan elang adalah
18
18 meter, maka tinggi elang dari atas tanah adalah
⋯
⋅
⋯⋅ meter.
Jika dilihat dari gambar, sisi depan sudut
60
∘
60∘ ditanyakan panjangnya dan sisi miring segitiga (hipotenusa) diketahui panjangnya. Dengan demikian, perbandingan trigonometri yang dapat digunakan adalah sinus, yakni
sin
60
∘
=
x
18
1
2
√
3
=
x
18
x
=
18
×
1
2
√
3
=
9
√
3
sin60∘=x18123=x18x=18×123=93
Jadi, tinggi elang dari atas tanah adalah
9
√
3
93 meter.
(Jawaban D)
Sudut berelasi
Jika sin 30° =½ maka cos 300°=
Jawab :
cos 300°
= cos (360° - 60°)
= cos 60°
= cos (90° - 30°)
= sin 30°
= 1/2
1. Diketahui segitiga abc dengan ab= 6 cm,ac= 8 cm sudut a= 150 derajat. Luas segitiga abc
jawab :
L = ½.ab.ac.Sin a
L = ½.6.8.Sin 150°
L = 12 cm²
2. Dalam sebuah segitiga ABC diketahui besar sudut B dan C berturut-turut yaitu 30o dan 37o. Jika panjang sisi di antara dua sudut tersebut yaitu 8 cm, maka tentukanlah luas segitiga tersebut.
Pembahasan :
Dik : B = 30o, C = 37o, a = 8 cm
Dit : L = .... ?
Langkah pertama kita tentukan besar sudut A :
⇒ A + B + C = 180o
⇒ A = 180o - (B + C)
⇒ A = 180o - (30o + 37o)
⇒ A = 180o - 67o
⇒ A = 113o
Berdasarkan rumus di atas :
⇒ L = a2 sin B sin C
2 sin A
⇒ L = 82 sin 30o sin 37o
2 sin 113o
⇒ L = 64 (0,5) (0,6)
2 (0,92)
⇒ L = 19,2
1,84
⇒ L = 10,42 cm
Jadi, luas segitiga tersebut yaitu 10,42 cm.
1. Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari sin x = ½ …..
Grafik trigonometri
Perhatikan gambar di bawah!
Persamaan grafik fungsi pada gambar di atas adalah ….
A. y = – 2 Sin(3x + 45)o
B. y = – 2 Sin(3x – 45 )o
C. y = – 2 Sin(3x – 45 )o
D. y = 2 Sin(3x + 15)o
E. y = 2 Sin(3x – 45 )o
Pembahasan:
Berdasarkan grafik fungsi trigonometri pada soal dapat diperoleh informasi:
- Nilai Amplitudo: A = 2
- Periode dari 15o sampai 135o adalah 1, sehingga:
- Grafik fungi trigonometri pada soal merupakan grafik dasar fungsi sinus y = Sin x yang digeser ke kana sejauh 15o.
Persamaan umum fungsi sinus adalah:
Jadi, persamaan grafik fungsi trigonometri yang sesuai dengan gambar pada soal adalah:
Jawban: E
Nyatakan sudut 50° dan 89° ke dalam radian!
Penyelesian:
50° = 50° x π/180°
50° = 0,277π
50° = 0,277 (3,14)
50° = 0,87 radian
89° = 89° x π/180°
89° = 0,494π
89° = 0,494 (3,14)
89° = 1,55 radian
Contoh Soal 2
Nyatakan sudut 0,45 radian dan 0,89 radian ke dalam satuan derajat!
Penyelesaian:
0,45 radian = 0,45 x 180°/π
0,45 radian = 25,80°
0,89 radian = 0,89 x 180°/π
0,89 radian = 51,02°
Contoh Soal 3
Sebuah kipas angin berputar dengan kecepatan 36 putaran per menit. Nyatakan kecepatan putaran kipas angin tersebut ke dalam satuan radian per detik!
Penyelesaian:
36 putaran/menit = 36 x 2π/60 putaran/detik
36 putaran/menit = 1,2π putaran/detik
Jadi 36 putaran per menit sama dengan 1,2π putaran per detik.
Jika sin 30° =½ maka cos 300°=
Jawab :
cos 300°
= cos (360° - 60°)
= cos 60°
= cos (90° - 30°)
= sin 30°
= 1/2
3.8 Menyelesaikan persamaan trigonometri sederhana atau persamaan indentitas trigonometri = rumus identitas trigonometri
Buktikan bahwa persamaan identitas trigonometri di bawah adalah benar!
\[ 1 - \frac{cos^{2} \alpha}{1 + sin \alpha} = sin \alpha \]
Bukti:
\[ 1 - \frac{cos^{2} \alpha}{1 + sin \alpha} = 1 - \frac{1 - sin^{2} \alpha}{1 + sin \alpha} \]
\[ 1 - \frac{cos^{2} \alpha}{1 + sin \alpha} = 1 - \frac{\left( 1 - sin \alpha \right) \left( 1 + sin \alpha) \right)}{1 + sin \alpha} \]
\[ 1 - \frac{cos^{2} \alpha}{1 + sin \alpha} = 1 - \left( 1 - sin \alpha \right) \]
\[ 1 - \frac{cos^{2} \alpha}{1 + sin \alpha} = 1 - 1 + sin \alpha \]
\[ 1 - \frac{cos^{2} \alpha}{1 + sin \alpha} = sin \alpha \]
3.8 Menyelesaikan koordinat kutub ke koordinat kartesius, koordinat kartesius ke koordinata kutub
Jika titik P(4,45°) dinyatakan dengan sistem koordinat Cartesius, maka hasilnya adalah
Jawab:
x = r . cos a
x = 4 . cos 45°
x = 4 . 1/2 √2
x = 2 √2
y = r . sin a
y = 4 . sin 45°
y = 4 . 1/2 √2
y = 2 √2
(2√2, 2√2)
3.7 Menyelesaikan sudut elevasi, sudut depresi
1. Budi melihat puncak menara dengan sudut elevasi 30°. Jika jarak antara Budi dan menara yang dilihatnya adalah 150 m dan tinggi Budi adalah 120 cm maka tinggi menara tersebut adalah …
Jawab
tan 30⁰ = \frac{x}{150}
\frac{1}{3} \sqrt{3} = \frac{x}{150}
x = \frac{1}{3} \sqrt{3} . 150
x = 50√3
Jadi tinggi menara adalah
= x + tinggi Budi
= 50√3 m + 120 cm
= 50√3 m + 1,2 m
= (50√3 + 1,2) m
2. Seorang anak dengan tinggi 160 cm berdiri pada jarak 12 m dari kaki tiang bendera. Jika sudut depresi dari puncak tiang terhadap anak adalah 45° maka tinggi tiang bendera itu adalah …
Jawab
tan 45⁰ = \frac{x}{12}
1 = \frac{x}{12}
x = 12
Jadi tinggi tiang bendera adalah
= x + tinggi anak
= 12 m + 160 cm
= 12 m + 1,6 m
= 13,6 m
3.8 Menyelesaikan rasio trigonometri untuk sudut-sudut di berbagai kuadran
Jika sin a = 1/2 , a di kuadran II , maka nilai dari tan a
Jawab :
\sin A=\frac{1}{2}\\\frac{a}{c}=\frac{1}{2}\\\\a=1\\c=2\\b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}\\\\\tan A=-\frac{a}{b}\\\tan A=-\frac{1}{\sqrt3}\\\tan A=-\frac{1}{3}\sqrt3(\text{Negatif karena berada di kuadran II})
Contoh Soal 2
Contoh Soal 2
3.7.2 Menyelesaikan rasio trigonometri (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen) pada sudut istimewa (600 , 300 , 450 )
Contoh Soal 1
sin [-30°] = - sin 30°
= - 1/2
= - 1/2
Contoh Soal 2
cos [-60°] = cos 60°
= 1/2
= 1/2
Contoh Soal 3
tan [-45°] = - tan 45°
= - 1
= - 1
3.7 Menyelesaikan komposisi operasi (+, -, :, dan •) nilai trigonometri
Contoh Soal 1
Tentukanlah nilai berikut ini.
a. cos 120º sin 60º
b. sin 75º cos 15º
Jawab
a. cos 120º sin 60º = ½ (sin (A + B) - sin (A - B))
= ½ (sin (120º + 60º) - sin (120º - 60º))
= ½ (sin (180º) - sin (60º))
= ½ (0 - ½√3)
= ½ (-½√3)
= -¼√3
b. sin 75º cos 15º = ½ (sin (A + B) + sin (A - B))
= ½ (sin (75º + 15º) + sin (75º - 15º))
= ½ (sin (90º) + sin (60º))
= ½ (1 + ½√3)
= ½ + ¼√3
Contoh soal 2
Tentukanlah nilai berikut ini.
a. 2 sin 52,5º sin 7,5º
b. 2 cos 52,5º cos 7,5º
Jawab
a. 2 sin 52,5º sin 7,5º = 2 × ½ (cos (A - B) - cos (A + B))
= (cos (52,5º - 7,5º) - cos (52,5º + 7,5º))
= (cos (45º) - cos (60º))
= ½√2 - ½
b. 2 cos 52,5º cos 7,5º = 2 × ½ (cos (A + B) + cos (A - B))
= (cos (52,5º + 7,5º) + cos (52,5º - 7,5º))
= (cos (60º) + cos (45º))
= ½ + ½√2
3.8 Menyelesaikan rasio trigonometri untuk sudut-sudut di berbagai kuadran
Contoh Soal 1
Untuk perbandingan trigonometri berikut, nyatakanlah dalam perbandingan trigonometri sudut komplemennya
sin 50°
tan 40°
cos 35°
Jawab :
sin 50° = sin (90° − 400°) = cos 40°
tan 40° = tan (90° − 50°) = cot 50°
cos 35° = cos (90° − 55°) = sin 55°
Ketiganya bernilai positif, karena sudut 50°, 40° dan 35° berada di kuadran I.
sin 50°
tan 40°
cos 35°
Jawab :
sin 50° = sin (90° − 400°) = cos 40°
tan 40° = tan (90° − 50°) = cot 50°
cos 35° = cos (90° − 55°) = sin 55°
Ketiganya bernilai positif, karena sudut 50°, 40° dan 35° berada di kuadran I.
Contoh Soal 2
Nyatakan tiap perbandingan trigonometri berikut di dalam sudut 37° !
tan 153°
sin 243°
cos 333°
Jawab :
Sudut 153° adapada kuadran II, hingga tan 153° memiliki nilai negatif.
tan 153° = tan (180° − 27°) = -tan 27°
Sudut 243° ada pada kuadran III, sehingga sinus memiliki nilai negatif.
sin 243° = sin (270° − 27°) = -cos 27°
Sudut 333° ada pada kuadran IV, hingga cosinus memiliki nilai positif.
cos 333° = cos (360° − 27°) = cos 27°
tan 153°
sin 243°
cos 333°
Jawab :
Sudut 153° adapada kuadran II, hingga tan 153° memiliki nilai negatif.
tan 153° = tan (180° − 27°) = -tan 27°
Sudut 243° ada pada kuadran III, sehingga sinus memiliki nilai negatif.
sin 243° = sin (270° − 27°) = -cos 27°
Sudut 333° ada pada kuadran IV, hingga cosinus memiliki nilai positif.
cos 333° = cos (360° − 27°) = cos 27°
3.8 Menyelesaikan rasio trigonometri untuk sudut-sudut berelasi (kuadrat: I, II, III, IV), sudut negatif, dan sudut > 3600
Contoh Soal 1
Untuk perbandingan trigonometri berikut, nyatakanlah dalam perbandingan trigonometri sudut komplemennya
sin 30°
tan 40°
cos 53°
Jawab :
sin 30° = sin (90° − 70°) = cos 70°
tan 40° = tan (90° − 50°) = cot 50°
cos 53° = cos (90° − 37°) = sin 37°
Apabila diperhatikan pada sin yang berubah menjadi cos, kemudian tan berubah jadi cot sedangkan cos berubah menjadi sin karena relasi yang dipaka adalah (90° − α) dan ketiga perbandingan trigonometri bernilai positif, karena sudut 30°, 40° dan 53° berada di kuadran I.
sin 30°
tan 40°
cos 53°
Jawab :
sin 30° = sin (90° − 70°) = cos 70°
tan 40° = tan (90° − 50°) = cot 50°
cos 53° = cos (90° − 37°) = sin 37°
Apabila diperhatikan pada sin yang berubah menjadi cos, kemudian tan berubah jadi cot sedangkan cos berubah menjadi sin karena relasi yang dipaka adalah (90° − α) dan ketiga perbandingan trigonometri bernilai positif, karena sudut 30°, 40° dan 53° berada di kuadran I.
Contoh Soal 2
Nyatakan tiap perbandingan trigonometri berikut di dalam sudut 37° ini:
tan 140°
sin 230°
cos 320°
Nyatakan tiap perbandingan trigonometri berikut di dalam sudut 37° ini:
tan 140°
sin 230°
cos 320°
Jawab :
Sudut 140° ada pada kuadran II, hingga tan 140° memiliki nilai negatif.
tan 140° = tan (180° − 37°) = -tan 37°
Sudut 230° ada pada kuadran III, sehingga sinus memiliki nilai negatif.
sin 230° = sin (270° − 37°) = -cos 37°
Sudut 140° ada pada kuadran II, hingga tan 140° memiliki nilai negatif.
tan 140° = tan (180° − 37°) = -tan 37°
Sudut 230° ada pada kuadran III, sehingga sinus memiliki nilai negatif.
sin 230° = sin (270° − 37°) = -cos 37°
3.8 Menyelesaikan persamaan trigonometri sederhana atau persamaan indentitas trigonometri = rumus identitas trigonometri
Contoh Soal 1
Jika cos2A=−725 untuk 180∘≤2A≤270∘, maka ⋯⋅
Diketahui cos2A=−7/25.
Karena 180∘≤2A≤270∘, maka dengan membagi 2pada ketiga ruasnya, diperoleh
90∘≤A≤135∘.
Jadi, A berada di kuadran II.
Perhatikan bahwa cos2A=2cos2A−1.
cos2A=−7/25
Karena 180∘≤2A≤270∘, maka dengan membagi 2pada ketiga ruasnya, diperoleh
90∘≤A≤135∘.
Jadi, A berada di kuadran II.
Perhatikan bahwa cos2A=2cos2A−1.
cos2A=−7/25
2cos2A−1=−7/25
cos2A=9/25
cosA=−35
cosA bernilai negatif karena A berada di kuadran II
cosA bernilai negatif karena A berada di kuadran II
Diketahui: sa=3 dan mi=5. Dengan pendekatan segitiga siku-siku dan rumus Pythagoras, diperoleh
de=√52−32=4
Dari sini, diperoleh
sinA=de/mi=4/5
de=√52−32=4
Dari sini, diperoleh
sinA=de/mi=4/5
tanA=−de/sa=−4/3
cscA=mi/de=5/4
3.8 Menyelesaikan Koordinat kutub ke koordinat kartesius, koordinat kartesius ke koordinat kutub
Contoh Soal 1
Konversikan koordinat kartesius P (4,-3) menjadi koordinat kutub!
Penyelesaian:
Diketahui: x = 4 dan y = -3
Penyelesaian:
Diketahui: x = 4 dan y = -3
maka r = √x²+y² = √4²+(-3)² = √25 = 5
α = tan^-1 (y/x) = tan^-1 (-3/4)
= -36,69 ° atau -37°
Jadi koordinat kutubnya (5, -37°).
= -36,69 ° atau -37°
Jadi koordinat kutubnya (5, -37°).
Contoh Soal 2
Konversikan koordinat kartesius P (6,8) menjadi koordinat kutub!
Penyelesaian:
Diketahui: x = 6 dan y = 8
Penyelesaian:
Diketahui: x = 6 dan y = 8
maka r = √x²+y² = √6²+8² = √100 = 10
α = tan^-1 (y/x) = tan^-1 (8/6)
= 53,13 ° atau 53°
Jadi koordinat kutubnya (10, 53°).
= 53,13 ° atau 53°
Jadi koordinat kutubnya (10, 53°).
Contoh Soal 3
Konversikan koordinat kutub P (10,60°) menjadi koordinat kartesius!
Penyelesaian:
Diketahui: r = 10 dan α = 60°
Penyelesaian:
Diketahui: r = 10 dan α = 60°
maka x = r . Cos α = 10 . cos 60°
= 10 . 1/2= 5
dan y = r . Sin α = 10 . Sin 60°
= 10 . 1/2√3= 5√3
= 10 . 1/2= 5
dan y = r . Sin α = 10 . Sin 60°
= 10 . 1/2√3= 5√3
Jadi koordinat kartesiusnya (5, 5√3).
Contoh Soal 4
Konversikan koordinat kutub P (20,53°) menjadi koordinat kartesius!
Penyelesaian:
Diketahui: r = 20 dan α = 53°
Penyelesaian:
Diketahui: r = 20 dan α = 53°
maka x = r . Cos α = 20 . cos 53°
= 20 . 0,6= 12
dan y = r . Sin α = 20 . Sin 53°
= 20 . 0,8 = 16
= 20 . 0,6= 12
dan y = r . Sin α = 20 . Sin 53°
= 20 . 0,8 = 16
Jadi koordinat kartesiusnya (12, 16).
Tidak ada komentar:
Posting Komentar