Nasywa Kayla Zahra
XI IPS 2
26
Assalamualaikum Wr.Wb
PROGRAM LINEAR
Program linear adalah suatu metode penentuan nilai optimum dari suatu persoalan linear. Nilai optimum (maksimal atau minimum) diperoleh dari nilai dalam suatu himpunan penyelesaiaan persoalan linear. Di dalam persoalan linear terdapat fungsi linear yang bisa disebut sebagai fungsi objektif. Persyaratan, batasan, dan kendala dalam persoalan linear merupakan sistem pertidaksamaan linear.
Model Matematika Program Linear
Persoalan dalam program linear yang masih dinyatakan dalam kalimat-kalimat pernyataan umum, kemudian diubah kedalam model matematika. Model matematika merupakan pernyataan yang menggunakan peubah dan notasi matematika.
Sebagai ilustrasi, produsen sepatu membuat 2 model sepatu menggunakan 2 bahan yang berbeda. Komposisi model pertama terdiri dari 200 gr bahan pertama dan 150 gr bahan kedua. Sedangkan komposisi model kedua terdiri dari 180 gr bahan pertama dan 170 gr bahan kedua. Persediaan di gudang bahan pertama 72 kg dan bahan kedua 64 kg. Harga model pertama adalah Rp. 500.000,00 dan model kedua Rp. 400.000,00. Jika disimpulkan/disederhanakan dalam bentuk tabel menjadi berikut:
Dengan peubah dari jumlah optimal model 1 adalah x dan model 2 adalah y, dan hasil penjualan optimal adalah f(x, y) = 500.000x + 400.000y. Dengan syarat:
§ Jumlah maksimal bahan 1 adalah 72.000 gr, maka 200x + 180y ≤ 72.000.
§ Jumlah maksimal bahan 2 adalah 64.000 gr, maka 150x + 170y ≤ 64.000
§ Masing-masing model harus terbuat.
Model matematika untuk mendapat jumlah penjualan yang maksimum adalah:
Maksimum f(x, y) = 500.000x + 400.000y
Syarat:
§ 200x + 180y ≤ 72.000
§ 150x + 170y ≤ 64.000
§ x ≥ 0
§ y ≥ 0
Nilai Optimum Fungsi Objektif
Fungsi objektif merupakan fungsi linear dan batasan-batasan pertidaksamaan linear yang memiliki himpunan penyelesaian. Himpunan penyelesaian yang ada merupakan titik-titik dalam diagram cartesius yang jika koordinatnya disubstitusikan kedalam fungsi linear dapat memenuhi persyaratan yang ditentukan.
Nilai optimum fungsi objektif dari suatu persoalan linear dapat ditentukan dengan metode grafik. Dengan melihat grafik dari fungsi objektif dan batasan-batasannya dapat ditentukan letak titik yang menjadi nilai optimum. Langkah-langkahnya sebagai berikut :
§ Menggambar himpunan penyelesaian dari semua batasan syarat yang ada di cartesius.
§ Menentukan titik-titik ekstrim yang merupakan perpotongan garis batasan dengan garis batasan yang lainnya. Titik-titik ekstrim tersebut merupakan himpunan penyelesaian dari batasannya dan memiliki kemungkinan besar membuat fungsi menjadi optimum.
§ Menyelidiki nilai optimum fungsi objektif dengan dua acara yaitu :
§ Menggunakan garis selidik
§ Membandingkan nilai fungsi objektif tiap titik ekstrim
Menggunakan Garis Selidik
Garis selidik diperoleh dari fungsi objektif f(x, y) = ax + by dimana garis selidiknya adalah
ax + by = Z
Nilai Z diberikan sembarang nilai. Garis ini dibuat setelah grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan dibuat. Garis selidik awal dibuat di area himpunan penyelesaian awal. Kemudian dibuat garis-garis yang sejajar dengan garis selidik awal. Berikut pedoman untuk mempermudah penyelidikian nilai fungsi optimum:
Cara 1 (syarat a > 0)
Cara 2 (syarat b > 0)
§ Jika maksimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di bawah garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik maksimum.
§ Jika minimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di atas garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik minimum.
Untuk nilai a < 0 dan b < 0 berlaku kebalikan dari kedua cara yang dijelaskan di atas.
Membandingkan Nilai Fungsi Tiap Titik Ekstrim
Menyelidiki nilai optimum dari fungsi objektif juga dapat dilakukan dengan terlebih dahulu menentukan titik-titik potong dari garis-garis batas yang ada. Titik-titip potong tersebut merupakan nilai ekstrim yang berpotensi memiliki nilai maksimum di salah satu titiknya.
Berdasarkan titik-titik tersebut ditentukan nilai masing-masing fungsinya, kemudian dibandingkan. Nilai terbesar merupakan nilai maksimum dan nilai terkecil merupakan nilai minimum.
Contoh Soal Program Linear dan Pembahasan
Contoh Soal 1
Tentukan nilai minimum f(x, y) = 9x + y pada daerah yang dibatasi oleh 2 ≤ x ≤ 6, dan 0 ≤ y ≤ 8 serta x + y ≤ 7.
Pembahasan 1:
§ Langkah 1 menggambar grafiknya
§ Langkah 2 menentukan titik ekstrim
Dari gambar, ada 4 titik ekstrim, yaitu: A, B, C, D dan himpunan penyelesaiannya ada di area yang diarsir.
§ Lankah 3 menyelidiki nilai optimum
Dari grafik diketahui titik A dan B memiliki y = 0, sehingga kemungkinan menjadi nilai minimum. Kedua titik disubstitusikan kedalam f(x, y) = 9x + y untuk dibandingkan.
Dengan membandingkan, disimpulkan titik A memiliki nilai minimum 18
Contoh Soal 2
Tentukan dimana nilai maksimum fungsi f(x, y) = 4x + 5y yang akan dicapai pada pada grafik ini!
Pembahasan 2:
Titik ekstrim pada gambar adalah:
§ A tidak mungkin maksimum karena titik paling kiri.
§ B(3, 6)
§ C(8, 2)
§ D(8, 0)
Nilai tiap titik ekstrim adalah:
Sehingga nilai maksimum ada pada titik yang melalui garis BC dengan nilai maksimum 42.
Contoh Soal 3
Pedagang buah memiliki modal Rp. 1.000.000,00 untuk membeli apel dan pisang untuk dijual kembali. Harga beli tiap kg apel Rp 4000,00 dan pisang Rp 1.600,00. Tempatnya hanya bisa menampung 400 kg buah. Tentukan jumlah apel dan pisang agar kapasitas maksimum.
Pembahasan 3:
Diketahui:
Dengan syarat:
§ Kapasitas tempat: x + y ≤ 400
§ Modal: 4.000x + 1.600y ≤ 1.000.000 ![5x + 2y \le 1.250]()
§ x ≥ 0
§ y ≥ 0
Diagramnya:
Titik ekstrim:
§ A(0, 400) bukan optimum karena tidak ada apel
§ C(250, 0) bukan optimum karena tidak ada pisang
Sehingga jumlah masimum:
§ Apel: 150 kg
§ Pisang: 250 kg
1. Buat sistem pertidaksamaan linear dari masalah yang ada
2. Selesaikan sistem pertidaksamaan linear tersebut
3. Lakukan uji titik yang sesuai di penyelesaian sistem pertidaksamaan yang dihasilkan
Satu peti kemas tebu X menghasilkan 3 ton gula. Padahal ada sebanyak x peti. Maka tebu X bisa menghasilkan 3x ton gula. Begitu pula dengan tebu Y. Ada sebanyak y peti dan masing-masing menghasilkan 4 ton gula. Maka tebu Y bisa menghasilkan 4y ton gula. Maka dihasilkan total gula sebanyak
Total gula = 3x + 4y
Nah, x dan y nya diisi berapa tuh? Kita isi dengan x dan y dari titik-titik kritis. Titik kritis adalah titik yang termasuk daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan namun merupakan titik perpotongan 2 garis atau lebih. Coba deh cari dulu titik kritisnya.
Didapat deh 3 titik kritis tuh yaitu (0,5), (3,3), dan (6,0). Langsung aja masukin semuanya ke 3x + 4y
Contoh Soal Program Linear
1. Ada seorang pedagang buah naga sedang memanen hasil kebunnya. Dia menyewa 30 kendaraan jenis truk dan colt dengan total muatan sebanyak 300 karung. Setiap truk hanya mampu menampung 15 karung dan colt hanya mampu mengangkut 10 karung. Tentukanlah bentuk model matematikanya.
Pembahasan
Dalam mengerjakan soal cerita seperti ini, Kita dapat melakukan pemisalan pada truk dan colt. Kita anggap truk sebagai fungsi x dan colt sebagai fungsi y. Selain itu, banyak karung yang di tampung adalah 300 karung dengan masing-masing per truk mampu menampung 15 karung dan colt 10 karung. Sehingga kita bisa menuliskan model matematikanya seperti di bawah ini.
Fungsi banyak karung = 15x + 10y = 300
Fungsi banyak karung = 3x + 2y = 60
Fungsi kuantitas = x + y = 30
Sehingga model matematika soal tersebut adalah F(kuantitas): x + y = 30 dan F(banyak karung): 3x + 2y = 60.
2. Lendra sedang berbelanja ke pasar. Dia membeli beberapa buah rambutan dan pepaya. Jumlah yang dibeli paling sedikit 20 buah di mana buah rambutan maksimal sebanyak 12 buah. Harga rambutan per buah adalah 5 ribu dan pepaya adalah 2 ribu. Ia memiliki uang 40 ribu. Jika Lendra membeli a rambutan dan b pepaya, tentukan bentuk model matematikanya
Pembahasan
Seperti soal sebelumnya, kita melakukan pemisalan untuk pembelian dan jumlah buah di mana rambutan sebagai fungsi x dan pepaya sebagai fungsi y.
Fungsi pembelian: 5000x + 2000y = 40000
Fungsi pembelian: 5x + 2y = 40
Fungsi jumlah buah: x + y ≥ 20
Fungsi maksimal rambutan: x ≤ 12
Ini bentuk model matematika untuk semua informasi dalam soal tersebut.
3. Diketahui sebuah persamaan x + y = 10 dan diberikan sebuah fungsi seperti di bawah ini
{(x,y)| x ≥ 0; y ≥ 0; 2x + 3y ≤ 8; 3x + 2y ≤ a}
Tentukan nilai a pada fungsi di atas sehingga nilai maksimum x + y = 10
Pembahasan
Pertama, kita harus menuliskan semua fungsi yang ada secara benar seperti contoh di bawah ini.
x ≥ 0
y ≥ 0
2x + 3y ≤ 8
3x + 2y ≤ a
Kemudian, lakukan penjumlahan dari dua fungsi di atas.
2x + 3y ≤ 8
3x + 2y ≤ a +
5x + 5y ≤ 8 + a
5 (x + y) ≤ 8 + a
5 (10) ≤ 8 + a
50 – 8 ≤ a
42 ≤ a
Sehingga, nilai a ≥ 42 untuk mendapatkan nilai maksimum x + y = 10.
3. Punto merupakan seorang pedagang memiliki modal Rp. 1.000.000 untuk membeli anggur dan ketan beras. Harga beli tiap kg anggur adalah Rp. 4000 dan ketan besar adalah Rp. 1600. Gudang Punto hanya bisa menampung 400 kg. Tentukan jumlah anggur dan ketan beras maksimum.
Pembahasan
Seperti soal-soal sebelumnya, kita dapat melakukan pemisalan pada soal tersebut di mana anggur sebagai fungsi x dan ketan besar sebagai fungsi y. Maka, kita bisa menulis bentuk pertidaksamaannya sebagai berikut.
Fungsi kapasitas: x + y ≤ 400
Fungsi modal: 4000x + 1600y ≤ 1.000.000 disederhanakan menjadi 5x + 2y ≤ 1250
x ≤ 0 ; y ≤ 0
Dari persamaan tersebut, kita dapat membentuk sebuah diagram sesuai dengan nilai maksimum pada tiap persamaan. Kita bisa memasukkan nilai 0 dan 400 dalam tiap persamaan sehingga bisa diketahui titik ekstremnya.
· Titik 1 (0,400) merupakan titik ekstrem namun tidak terdapat fungsi anggur
· Titik 3 (400,0) merupakan titik ekstrem namun tidak terdapat fungsi beras ketan
· Titik 2 ( xb, yb ) menggunakan eliminasi kedua fungsi di atas.
5x + 2y ≤ 1250
x + y ≤ 400 |x2 –
5x + 2y ≤ 1250
2x + 2y ≤ 800 –
3x ≤ 450
Sehingga nilai x adalah 150. Total anggur dan beras ketan adalah 400, sedangkan jumlah angggur adalah 150, maka jumlah beras ketan adalah 250.
5. Jika diberikan sebuah fungsi f(x,y) = 4x + 5y pada grafik di bawah ini. Tentukan garis maksimum fungsi tersebut
Pembahasan
Pertama, kita harus melihat titik-titik ekstrem pada gambar di atas. Sehingga di temukan titik ekstremnya adalah B(3,6), C(8,2), dan D(8,0).
Kemudian, kita masukkan titik ekstrem ini ke dalam persamaan f(x,y) = 4x + 5y.
Nilai terbesar merupakan titik maksimumnya. Berdasarkan perhitungan, titik maksimum melintasi garis BC. Sehingga bisa disimpulkan bahwa BC adalah garis maksimum.
6. Pada ilustrasi berikut terdapat permasalahan terkait penumpang besawat, berat bagasi, dan harga tiket.
Dalam suatu pesawat terdapat 48 tempat duduk penumpang. Setiap penumpang kelas utama maksimum membawa 60 kg bagasi, sedangkan penumpang kelas ekonomi hanya diperbolehkan membawa bagasi maksimal 20 kg. Pesawat tersebut hanya mampu menampung total bagasi penumpang maksimum 1440 kg. Jika harga tiket penumpang kelas utama adalah Rp1.500.000,00 dan penumpang kelas ekonomi adalah Rp1.000.000,00, tentukan banyaknya tempat duduk kelas utama dan kelas ekonomi agar pendapatan dari penjualan tiket tersebut maksimum.
Pembahasan
Misalkan variabel-variabel kendala dimisalkan sebagai berikut.
· x : banyaknya penumpang kelas utama
· y : banyaknya penumpang kelas ekonomi
Menentukan fungsi tujuan:
Fungsi tujuan dari permasalahan tersebut yaitu menentukan pendapatan maksimum:
z = 1.500.000 x + 1.000.000 y
Menyusun model dari variabel-variabel kendala:
Banyak tempat duduk maksimum adalah 48.
Banyak bagasi maksimum 60 kg (kelas utama) dan 20 kg (kelas ekonomi) dengan total bagasi maksimum 1.440 kg.
Sehingga
x + y ≤ 48
60 x + 20 y ≤ 1.440
Grafik dari fungsi tersebut:
x + y ≤ 48
x
|
48
|
0
|
y
|
0
|
48
|
Titik yang dilalui garis yaitu (48, 0) dan (0, 48)
60 x + 20 y ≤ 1440
x
|
24
|
0
|
y
|
0
|
72
|
Titik-titik yang dilalui garis yaitu (24, 0) dan (0, 72)
Gambar grafik fungsi kendala yaitu sebagai berikut.
Menentukan titik potong kedua grafik.
Dengan menggunakan konsep SPLDV diperoleh
x + y = 48 à y = 48 – x
60 x + 20 y = 1.440
Sehingga
60 x + 20 (48 – x) = 1.440
60x + 960 – 20x = 1.440
40x = 1.440 – 960
40 x = 480
x = 480/40 = 12
x + y = 48
x = 12 à y = 48 – 12 = 36
Titik potong kedua garis pada (12, 36)
Menentukan daerah penyelesaian.
Perhatikan daerah penyelesaian berikut.
Pada gambar tersebut terdapat daerah penyelesaian yang berwarna ungu. Langkah selanjutnya yaitu menghitung nilai optimum dari fungsi tujuan.
Titik optimumnya yaitu (0, 0), (24, 0), (12, 36), dan (0, 48).
Fungsi tujuan: z = 1.500.000 x + 1.000.000 y
(0, 0) à z = 1.500.000 (0) + 1.000.000 (0) = 0
(24, 0) à z = 1.500.000 (24) + 1.000.000 (0) = 36.000.000
(12, 36) à z = 1.500.000 (12) + 1.000.000 (36) = 18.000.000 + 36.000.000 = 54.000.000
(0,48) à z = 1.500.000 (0) + 1.000.000 (48) = 48.000.000
Maksimum penjualan tiket yaitu 54.000.000
Jadi, agar penjualan tiket maksimum maka banyaknya penumpang kelas utama adalah 12 penumpang dan banyaknya penumpang kelas ekonomi adalah 36 penumpang.
Kesimpulan
· Program linear merupakan salah satu teknik optimasi yang digunakan dalam berbagai bidang untuk menentukan optimalisasi suatu kegiatan (misalnya produksi, penjualan, dan lain-lain).
· Langkah-langkah penghitungan dengan menggunakan program linear yaitu menentukan variabel kendala, menyusun fungsi tujuan, menyusun model, menggambar grafik model, menentukan titik potong grafik, menentukan daerah penyelesaian, dan menentukan nilai optimum dari fungsi tujuan.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar