pengalaman belajar matematika: matrik, macam-macam matrik, dan operasi matrik

Nasywa Kayla Zahra

XI IPS 2

Definisi matrik

Definisi wikipedia "Dalam matematika, matriks adalah kumpulan bilangan, simbol, atau ekspresi, berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut dengan elemen atau anggota matriks.

Matriks adalah kumpulan bilangan berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut dengan elemen atau anggota matriks. Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur. Pemanfaatannya misalnya dalam menjelaskan persamaan linier, transformasi koordinat, dan lainnya. Matriks seperti halnya variabel biasa dapat dimanipulasi, seperti dikalikan, dijumlah, dikurangkan dan didekomposisikan.

Ordo Matriks

Dijelaskan sebelumnya matriks terdiri dari unsur-unsur yang tersusun secara baris dan kolom. Jika banyak baris suatu matriks adalah m, dan banyak kolom suatu matriks adalah n, maka matriks tersebut memiliki ordo matriks atau ukuran m x n. Perlu diingat bahwa m dan n hanya sebuah notasi, sehingga tidak boleh dilakukan sebuah perhitungan (penjumlahan, perkalian). Pada contoh matriks jumlah penjualan mobil diatas diketahui bahwa:

Banyak baris, m = 3
Banyak kolom, n = 3
Ordo matriks, m x n = 3 x 3

Penamaan/notasi matriks menggunakan huruf kapital, sedangkan elemen-elemen di dalamnya dinotasikan dengan huruf kecil sesuai dengan penamaan matriks dan diberi indeks ij. Indeks tersebut menyatakan posisi elemen matriks, yaitu pada baris i dan kolom j. Sebagai contoh, matriks sebelumnya untuk penjualan mobil:

$E = \begin{pmatrix} e_{11} & e_{12} & e_{13} \\ e_{21} & e_{22} & e_{23} \\ e_{31} & e_{32} & e_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 34 & 56 & 41 \\ 45 & 36 & 37 \\ 51 & 32 & 46 \end{pmatrix}$

Dimana, $e_{12} = 56$ adalah elemen matriks yang berada pada baris ke-1 (i = 1) dan kolom ke-2 (j = 2). Begitu juga dengan elemen matriks yang lainnya.

Pada matriks terdapat dua jenis diagonal, yaitu diagonal utama dan diagonal sekunder. Diagonal utama merupakan elemen-elemen dengan yang bisa membentuk garis miring. Diagonal sekunder merupakan kebalikan dari garis miring diagonal utama. Perhatikan matriks berikut:

$E = \begin{pmatrix} 34 & 56 & 41 \\ 45 & 36 & 37 \\ 51 & 32 & 46 \end{pmatrix}$

Diagonal utama adalah elemen 34, 36, 46, sedangkan diagonal sekunder adalah elemen 41, 36, 51.

Matriks Identitas

Matriks diagonal dengan elemen-elemen diagonal utamanya bernilai 1 disebut matriks identitas. Pada umumnya matriks identitas dinotasikan dengan “I”. Contoh:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ atau $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Jenis-jenis Matriks

Matriks dapat dikelompokan ke beberapa jenis berdasarkan pada jumalah baris dan kolom serta pola elemen matriksnya sebagai berikut :

1. Matriks Baris dan Matriks Kolom

Matriks baris adalah suatu matriks yang hanya memiliki satu baris saja. Sedangkan, matriks kolom adalah suatu matriks yang hanya memiliki satu kolom saja. Contoh:

A = (1 4) atau B = (3 7 9) adalah matriks baris

$\begin{pmatrix} 146 \\ 275 \\ 528 \end{pmatrix}$ atau $D = \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}$ adalah matriks kolom

2. Matriks Persegi

Matriks yang memiliki jumlah kolom dan baris yang sama disebut matriks persegi. Matriks persegi memiliki ordo n.

Contoh:

$A = \begin{pmatrix} 34 & 56 & 41 \\ 45 & 36 & 37 \\ 51 & 32 & 46 \end{pmatrix}$ adalah matriks persegi berordo 3, atau

$B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ adalah matriks persegi berordo 2.

3. Matriks Segitiga Atas dan Segitiga Bawah

Matriks persegi A yang memiliki elemen matriks $a_{ij} = 0$ untuk $i > j$ atau elemen-elemen matriks dibawah diagonal utama bernilai 0 disebut matriks segitiga atas. Matriks persegi A yang memiliki elemen matiks $a_{ij} = 0$ untuk $i < j$ atau elemen-elemen matriks diatas diagonal utama bernilai 0 disebut matriks segitiga bawah.

Contoh:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 6 & 4 \\ 0 & 3 & 7 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$ adalah matriks segitiga atas,

$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 7 & 3 & 0 \\ 4 & 6 & 4 \end{pmatrix}$ adalah matriks segitiga bawah.

4. Matriks Diagonal

Matriks persegi A yang memiliki elemen matiks $a_{ij} = 0$ untuk $i \neq j$ atau elemen-elemen matriks diluar diagonal utama bernilai 0 disebut matriks diagonal.

Contoh:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$ atau $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$

5. Matriks Skalar

Matriks diagonal yang memiliki elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai sama disebut matriks skalar.

Contoh:

$A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ atau $B = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$

6. Matriks Indentitas

Sudah dijelaskan di atas.

7. Matriks Simetris

Matriks persegi A yang memiliki elemen matiks baris ke-I sama dengan elemen matriks kolom ke-j untuk i = j disebut simetris. Atau, dapat dikatakan elemen $a_{ij}$ sama dengan elemen $a_{ji}$ .

Contoh:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & 3 & 5 \\ 4 & 5 & 7 \end{pmatrix}$

Dapat dilihat bahwa elemen baris ke-1 sama dengan kolom ke-1, baris ke-2 sama dengan kolom ke-2, dan baris ke-3 sama dengan kolom ke-3.

Transpose Matriks

Transpose matriks merupakan perubahan baris menjadi kolom dan sebaliknya. Transpose matriks dari $A_{m x n}$ adalah sebuah matriks dengan ukuran (n x m) dan bernotasi AT. Jika matriks A ditanspose, maka baris 1 menjadi kolom 1, baris 2 menjadi kolom 2, dan begitu seterusnya.

Contoh:

$\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$ ditranspose menjadi $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ .

Sifat dari transpose matriks: $(A^T)^T = A$ .

Contoh Soal dan Pembahasan

Jika $A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2}a & 2 \\ b & \frac{3}{2}c \end{pmatrix}$ dan Jika $B = \begin{pmatrix} 2c-3b & 2a+1 \\ a & b+7 \end{pmatrix}$ , maka agar $A = B^T$ , berapakah nilai c?

Pembahasan:

Diketahui bahwa $A = B^T$

$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}a & 2 \\ b & \frac{3}{2}c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2c-3b & 2 \\ a & b+7 \end{pmatrix}^T$

$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}a & 2 \\ b & \frac{3}{2}c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2c-3b & a \\ 2a+1 & b+7 \end{pmatrix}$

Sehingga didapat 4 persamaan baru dari elemen-elemen matriksnya, yaitu:

$\frac{1}{2}a = 2c - 3b$ (persamaan ke-1)
2 = a (persamaan ke-2)
b = 2a + 1 (persamaan ke-3)
$\frac{3}{2}c = b + 7$ (persamaan ke-4)

Dari persamaan tersebut dapat dilakukan substitusi persamaan untuk memperoleh nilai c, yaitu:

a = 2, maka:

b = 2a + 1 = 2(2) + 1 = 5

dan

$\frac{3}{2}c = b + 7$

$c = \frac{2}{3}(b + 7) = \frac{2}{3}(5 + 7) = 8$ .

https://www.studiobelajar.com/matriks-dasar/

Kesamaan Dua Matriks

Matriks A dan B dapat dikatakan sama (ditulis A=B), apabila keduanya berukuran sama dan semua unsur letaknya sama.

Jika

untuk i adalah = 1, 2, 3, ..., m dan j = 1, 2, 3, ..., n

Berbagai sifat yang berkaitan dengan kesamaan dua matrik dan tranposnya

adalah sebagai berikut

contoh :

jika matriks

memenuhi persamaan A = B, maka tentukan x dan y

jawab :

dari A = B diperoleh

yang menghasilkan persamaan linier dua peubah

berdasarkan persamaan 1 dan 2 diperoleh x = 2 dan y = -1

serta nilai x = 2 dan y = -1 juga memenuhi persamaan (3) dan (4)

Operasi pada Matriks

Jika matriks A dan B berukuran sama, maka

Penjumlahan

Jumlah matriks A dan B ditulis A + B adalah suatu matriks yang diperoleh dari menjumah setiap unsur seetak dari A dan B

Perkalian dengan skalar

Hasil dari perkalian matriks A dengan skalar k, ditulis kA adalah suatu matriks yang diperoleh dari perkalian konstanta k dengan setia unsur dari A

Pengurangan

Selisih antara matriks A dan B ditulis A - B adalah suatu matriks yang diperoleh dari pengurang setiap unsur seletak dari A dan B.

Contoh :

Jika

maka
(a). A + B
(b). 2A - 3B
(c). 2At + Bt

Jawab :
(a)

(b)

(c)

Perkalian Matriks

Hasil perkalian dari matriks baris ukuran 1xn dan matriks berukuran nx1 adalah matriks ukuran 1x1 yang ditentukan oleh :

Catatan :

Jika matriks A berukuran m x p dan matriks B berukuran p x n, maka hasil kali matriks A dan B yang dinyatakan dengan AB adalah suatu matriks C yang berukuran mxn dimana cij adalah perkalian baris ke-i matriks A dengan kolom ke-j matriks B
Perkalian matriks AB hanya didefinisikan untuk kasus banyaknya kolom matris A sama dengan banyaknya baris matriks B, diluar ketentuan ini, AB tidak didefinisikan

contoh :

Pembahasan :

Matriks A2x2 dikali matriks B2x3 akan menghasilkan matriks C2x3

Tulislah sistem persamaan linier berikut sebagai perkalian matriks

A3x2 B2x1 C3x1

A3x3 B3x1 C3x1

Sifat Penjumlahan dan Perkalian Matriks

Jika sebuah matriks A, B, C, matriks nol dan matriks satuan I maka untuk penjumlahan dan perkaliannya berlaku sifat berikut :

Sifat komutatif terhadap penjumahan adalah : A + B = B + A
Sifat assosiatif terhadap penjumlahan adalah : (A + B) + C = A + ( B + C)
Sifat matriks nol adalah : A + 0 = A
Sifat lawan matriks adalah : A + (-A) = 0
Sifat asoasiatif terhadap perkalian adalah : (AB) C = A (BC)
Sifat distributif kiri adalah : A(B + C) = AB + AC
Sifat distributif kanan adalah : (A+B) C = AC + BC
Sifat perkalian dengan konstanta adalah : k(AB) = (kA)B = A (kB) , dimana k konstanta real
Sifat perkalian dengan matriks satuan adalah : AI = IA = A

ontoh Soal 1

Jika diketahui persamaan metrik !

A. 4
B. 5
C. 7
D. 29
E. 31

Pembahasannya :

Karena kedua matriks sama, maka elemen-elemen yang seletak akan sama pula, sehingga berlaku:

2x + 1 = 3
2x = 2
x = 1
y + 12 = 15
y = 3
x + y = 1 + 3 = 4

Jawabannya : A

Contoh Soal 2

Contoh Soal 3

Contoh Soal 4

Contoh Soal 5

Contoh Soal 6

Contoh Soal 7

Jika determinan nilai matriks A adalah 4 kali determinan nilai matriks B, maka nilai x adalah…

A. 4/3
B. 8/3
C. 10/4
D. 5/3
E. 16/7

Pembahasannya:
det A = 4 det B
4 x (16 x ) – (-16) = 4 (108 – (-152))
4 x (4 2x ) + 16 = 4 (260)
4 3x = 4 (260) – 16
4 3x = 4 (260) – 4 (4)
4 3x = 4 (260 – 4)
4 3x = 4 (256)
4 3x = 4. 4 4
4 3x = 4 5
3x = 5
x = 5/3