Pencerminan terhadap sumbu x adalah A, pencerminan terhadap sumbu y adalah B dan rotasi 180o terhadap puasat O adalah H. Tentukan matriks B(A(HA)). (UMPTN ’90)
1. Bayangan garis y = 2x + 2 yang dicerminkan terhadap garis y= x adalah. . .
2. Persamaan bayangan kurva y = x² – 2x – 3 oleh rotasi [0, 180°], kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap garis y = -x adalah ….
A. y = x² – 2x – 3
B. y = x² – 2x + 3
C. y = x² + 2x + 3
D. x = y² – 2y – 3
E. x = y² + 2y + 3
Rotasi sudut-sudut yang lain dapat dihitung sendiri menggunakan kaidah trigonometri.
3. Persamaan bayangan dari lingkaran x² +y² +4x – 6y – 3 = 0 oleh transformasi yang berkaitan dengan matriks 
adalah….
A. x² + y² – 6x – 4y- 3 = 0
B. X² + y² – 6x + 4y- 3 = 0
C. x² + y² + 6x – 4y- 3 = 0
D. x² + y² – 4x + 6y- 3 = 0
E. x² + y² + 4x – 6y+ 3 = 0
4. T1 dan T2 adalah transformasi yang masing-masing bersesuaian dengan 
Ditentukan T = T1 o T2 , maka transformasi T bersesuaian dengan matriks…
Pembahasan :
5. Ditentukan matriks transformasi .
Hasil transformasi titik (2,-1) terhadap T1 dilanjutkan T2 adalah….
A. (-4,3)
B. (-3,4)
C. (3,4)
D. (4,3)
E. (3,-4)
Jawaban : A
Pembahasan :
6. Persamaan bayangan garis y = -6x + 3 karena transformasi oleh matriks 
kemudian dilanjutkan dengan matriks 
adalah…
A. x + 2y + 3 = 0
B. x + 2y – 3 = 0
C. 8x – 19y + 3 = 0
D. 13x + 11y + 9 = 0
E. 13x + 11y – 9 = 0
Jawaban : E
Pembahasan :
7. Bayangan titik A (4,1) oleh pencerminan terhadap garis x =2 dilanjutkan pencerminan terhadap garis x = 5 adalah titik….
A. A” (8,5)
B. A” (10,1)
C. A” (8,1)
D. A” (4,5)
E. A” (20,2)
Jawaban : B
Pembahasan :
8. T1 adalah transformasi yang bersesuaian dengan matriks 
dan T2 adalah transformasi yang bersesuaian dengan matriks 
Bayangan A (m,n) oleh transformasi T1 o T2 adalah (-9,7). Nilai m+n sama dengan…
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
E. 8
Jawaban : B
Pembahasan :
9. Bayangan ∆ABC dengan A(2,1), B(6,1), C(5,3) karena refleksi terhadap sumbu y dilanjutkan rotasi (0,90°) adalah…
A. A” (-1,-2), B” (1,6) dan C” (-3,-5)
B. A” (-1,-2), B” (1,-6) dan C” (-3,-5)
C. A” (1,-2), B” (-1,6) dan C” (-3,5)
D. A” (-1,-2), B” (-1,-6) dan C” (-3,-5)
E. A” (-1,2), B” (-1,-6) dan C” (-3,-5)
Jawaban : D
Pembahasan :
10. Persamaan peta kurva y = x² – 3x + 2 karena pencerminan terhadap sumbu x dilanjutkan dilatasai dengan pusat O dan factor skala 3 adalah…
A. 3y + x² – 9x + 18 = 0
B. 3y – x² + 9x – 18 = 0
C. 3y – x² + 9x + 18 = 0
D. 3y + x² + 9x + 18 = 0
E. y + x² + 9x – 18 = 0
Jawaban : A
Pembahasan :
pencerminan terhadap sumbu x:
P ( x , y ) → P ‘ ( x , – y )
Dilatasi terhadap titik pusat O(0,0) dengan factor skala 3 :
[O, k] : P(x,y) → P'(kx, ky)
[O,3k] : P(x,y) → P'(3x, 3y)
pencerminan terhadap sumbu x dilanjutkan dilatasai
dengan pusat O dan factor skala 3 :
P(x,y) → P ‘(x, -y) → P ”(3x, -3y)
11. Luas bayangan persegipanjang PQRS dengan
P(-1,2), Q(3,2), R (3,-1), S(-1,-1)
karena dilatasi [0,3] dilanjutkan rotasi pusat O bersudut Ï€/2 adalah…
A. 36
B. 48
C.72
D. 96
E. 108
Jawaban : E
Pembahasan :
dilatasi [0,3] :
[O,3k] : P(x,y) → P ‘(3x, 3y)
Sehingga :
P(x,y) → P” (-3y, 3x)
P(-1,2), Q(3,2), R (3,-1), S(-1,-1)
P(-1,2) → P” (-6,-3)
Q(3,2) → Q” (-6,9)
R (3,-1) → R” (3,9)
S(-1,-1) → S” (3,-3)
Buat sketsa gambarnya:
Sehingga luas transformasinya adalah :
Panjang (p) x lebar (l) = 12 x 9 = 108 satuan luas
12. Segitiga ABC dengan A(2,1), B(6,1), C(6,4) ditransformasikan dengan matriks transformasi 
Luas bangun hasil transformasi segitiga ABC adalah….
A. 56 satuan luas
B. 36 satuan luas
C. 28 satuan luas
D. 24 satuan luas
E. 18 satuan luas
Jawaban : E
Pembahasan :
misalkan T = maka
Luas bayangan/transformasi ∆ ABC =|det T| x luas ∆ ABC |det T| = |ad –bc| = |3-0| = 3
luas ∆ ABC :
buat sketsa gambar :
Luas bayangan/transformasi ∆ ABC =|det T| x luas ∆ ABC
= 3 x 6 = 18 satuan luas
13. Tentukan bayangan lingkaran (x-3)2 + (y+1)2 = 4 jika ditranslasikan
a. 5
b. 4
c. 3
d. 2
e. 1
Jawaban : B
Pembahasan :
Ambil sembarang titik P(a,b) pada lingkaran (x-3)2 + (y+1)2 = 4 sehingga diperoleh (a-3)2 + (b+1)2 = 4
14. ABCD adalah sebuah persegi dengan koordinat titik-titik sudut A(1,1), B(2,1), C(2,2) dan D(1,2). Tentukan peta atau bayangan dari titik-titik sudut persegi itu oleh dilatasi [O,2]!
Jawaban :
Pembahasan :
15. Jika titik A(15,8) dicerminkan terhadap garis x=7, maka bayangan titik A adalah titik A’ dengan koordinat….
Jawaban :
Pembahasan :
16. Titik A(a,b) dicerminkan terhadap garis x=2 menghasilkan bayangan titik A’(0,2), maka nilai (a,b) berturut-turut adalah….
a. 2 , 4
b. 4 , 2
c. 2 , 2
d. 3 , 1
e. 1 , 3
Jawaban : B
Pembahasan :
17. Titik A’(-16,24) merupakan bayangan dari titik A(x,y) yang didilatasikan dengan pusat O(0,0) dan faktor skala -4. Koordinat titik A adalah….
Jawaban :
Pembahasan :
18. Tentukan persamaan peta dari garis 3x – 5y + 15 = 0 oleh pencerminan terhadap sumbu x!
Jawaban :
Pembahasan :
19. Tentukan persamaan peta dari garis 3x-5y+15=0 oleh dilatasi terhadap pusat O(0,0) dengan faktor skala 5!
Jawaban :
Pembahasan :
20. Lingkaran x² + y² – 6x + 2y + 1 = 0. Jika ditransformasikan dengan dilatasi [O,4], persamaan bayangannya adalah….
Jawaban :
Pembahasan :
Contoh 1
Peta titik A(2, 3) oleh pencerminan terhadap garis y = x adalah ...
Jawab :
[x′y′]=[0110][23]
[x′y′]=[32]
Jadi, peta titik A adalah A'(3, 2)
Contoh 2
Bayangan titik P jika dicerminkan terhadap sumbu x adalah (4, -2 ). Koordinat titik P adalah ...
Jawab :
[−4−2]=[1−00−1][xy]
[−4−2]=[−x−y]
Dari persamaan matriks diatas kita peroleh
4 = x → x = 4
-2 = -y → y = 2
Jadi, koordinat titik P adalah (4, 2)
Contoh 3
Bayangan garis 2x + y - 3 = 0 jika dicerminkan terhadap pusat O adalah ...
Jawab :
[x′y′]=[−100−1][xy]
[x′y′]=[−x−y]
Dari persamaan matriks diatas kita peroleh
x' = -x → x = -x'
y' = -y → y = -y'
Substitusi x = -x' dan y = -y' ke garis 2x + y - 3 = 0
2(-x') + (-y') - 3 = 0
-2x' - y' - 3 = 0
2x' + y' + 3 = 0
Jadi, bayangannya adalah 2x + y + 3 = 0
Matriks Rotasi (Perputaran)
Misalkan peta titik A(x, y) oleh rotasi dengan pusat O sejauh θ adalah A'(x', y'). Perhatikan gambar berikut
Dari segitiga siku-siku OBA diperoleh
x = r cos α
y = r sin α
Dari segitiga siku-siku OCA' diperoleh
x' = r cos (α + θ )
x' = r (cos α cos θ - sin α sin θ)
x' = r cos α cos θ - r sin α sin θ
x' = x cos θ - y sin θ
y' = r sin (α + θ )
y' = r (sin α cos θ + cos α sin θ)
y' = r sin α cos θ + r cos α sin θ
y' = y cos θ + x sin θ
y' = x sin θ + y cos θ
Diperoleh
x' = x cos θ - y sin θ
y' = x sin θ + y cos θ
Dalam persamaan matriks kita tulis[x′y′]=[cosθ−sinθsinθcosθ][xy]
Jadi, matriks yang bersesuaian dengan rotasi terhadap pusat O sebesar θ adalahM[O,θ]=[cosθ−sinθsinθcosθ]
Contoh 4
Titik A(-4, 3) dipetakan oleh rotasi dengan pusat O sejauh 90° searah jarum jam. Peta titik A adalah ...
Jawab :
Searah jarum jam berarti θ = -90°
Ingat :
sin (-θ) = - sin θ
cos (-θ) = cos θ
[x′y′]=[cos(−90∘)−sin(−90∘)sin(−90∘)cos(−90∘)][−43]
[x′y′]=[01−10][−43]
[x′y′]=[34]
Jadi, peta titik A adalah A'(3, 4)
Contoh 5
Bayangan garis y = 2x + 1 oleh rotasi dengan pusat O sebesar 180° adalah ...
Jawab :
[x′y′]=[cos180∘−sin180∘sin180∘cos180∘][xy]
[x′y′]=[−100−1][xy]
[x′y′]=[−x−y]
Dari persamaan matriks diatas diperoleh
x' = -x → x = -x'
y' = -y → y = -y'
Substitusi x = -x' dan y = -y' ke garis y = 2x + 1
-y' = 2(-x') + 1
-y' = -2x' + 1
y' = 2x' - 1
Jadi, bayangannya adalah y = 2x - 1
Misalkan peta titik A(x, y) oleh rotasi dengan pusat P(a, b) sejauh θ adalah A'(x', y'). Perhatikan gambar berikut :
Dari segitiga siku-siku PBA diperoleh
x - a = r cos α
y - b = r sin α
Dari segitiga siku-siku PCA' diperoleh
x' - a = r cos (α + θ)
x' - a = r (cos α cos θ - sin α sin θ)
x' - a = r cos α cos θ - r sin α sin θ
x' - a = (x - a) cos θ - (y - b) sin θ
y' - b = r sin (α + θ)
y' - b = r (sin α cos θ + cos α sin θ)
y' - b = r sin α cos θ + r cos α sin θ
y' - b = (y - b) cos θ + (x - a) sin θ
y' - b = (x - a) sin θ + (y - b) cos θ
Diperoleh
x' - a = (x - a) cos θ - (y - b) sin θ
y' - b = (x - a) sin θ + (y - b) cos θ
Dalam persamaan matriks kita tulis[x′−ay′−b]=[cosθ−sinθsinθcosθ][x−ay−b]
Contoh 6
Persamaan bayangan parabola y = x2 + 2x + 1 jika dirotasi dengan pusat P(2, -3) sejauh 270° adalah ...
Jawab :
[x′−2y′+3]=[cos270∘−sin270∘sin270∘cos270∘][x−2y+3]
[x′−2y′+3]=[01−10][x−2y+3]
[x′−2y′+3]=[y+3−x+2]
Dari persamaan matriks diatas kita peroleh
x' - 2 = y + 3 → y = x' - 5
y' + 3 = -x + 2 → x = -y' - 1
Substitusi x dan y ke parabola y = x2 + 2x + 1
x' - 5 = (-y' - 1)2 + 2(-y' - 1) + 1
x' - 5 = (y')2 + 2y' + 1 - 2y' - 2 + 1
x' - 5 = (y')2
(y')2 = x' - 5
Jadi, persamaan bayangannya adalah y2 = x - 5
Matriks Dilatasi (Perkalian)
Misalkan peta titik A(x, y) oleh dilatasi dengan pusat O dan faktor skala k adalah A'(x', y'). Perhatikan gambar berikut :
Sebagai catatan, titik A'(x', y') dapat berada disepanjang garis m, tergantung nilai k.
Berdasarkan gambar diatas, koordinat A'(x', y') dapat kita tulis dalam persamaan
x' = kx ⇔ x' = kx + 0y
y' = ky ⇔ y' = 0x + ky
Dalam persamaan matrik kita tulis[x′y′]=[k00k][xy]dengan matriks dilatasinyaM[O,k]=[k00k]Untuk pusat (a, b), persamaan matriksnya adalah[x′−ay′−b]=[k00k][x−ay−b]
Contoh 7
Persamaan bayangan lingkaran x2 + y2 = 5 oleh dilatasi dengan pusat O dan faktor skala 2 adalah ...
Jawab :
[x′y′]=[2002][xy]
https://soalkimia.com/contoh-soal-transformasi-geometri/
[x′y′]=[2x2y]
Dari persamaan matriks diatas kita peroleh
x' = 2x → x = 12x'
y' = 2y → y = 12y
Substitusi x dan y ke persamaan x2 + y2 = 5
(12x')2 + (12y')2 = 5
14(x')2 + 14(y')2 = 5 (kali 4)
(x')2 + (y')2 = 20
Jadi, bayangannya adalah x2 + y2 = 20
Contoh 8
Peta titik R(1, 3) oleh dilatasi dengan pusat (-2, 4) dan faktor skala -2 adalah ...
Jawab :
Titik R : (x, y) = (1, 3)
Pusat dilatasi : (a, b) = (-2, 4)
Faktor skala : k = -2
Peta titik R : (x', y') = ?
Persamaan matriksnya
[x′−ay′−b]=[k00k][x−ay−b]
[x′+2y′−4]=[−200−2][1+23−4]
[x′+2y′−4]=[−200−2][3−1]
[x′+2y′−4]=[−62]
Dari persamaan matriks diatas kita peroleh
x' + 2 = -6 → x' = -8
y' - 4 = 2 → y' = 6
Jadi, peta titik R adalah R'(-8, 6)
https://smatika.blogspot.com/2017/11/matriks-transformasi-geometri.html
https://soalkimia.com/contoh-soal-transformasi-geometri/
https://idschool.net/sma/rumus-pada-transformasi-geometri-translasi-refleksi-rotasi-dan-dilatasi/
https://www.studiobelajar.com/transformasi-geometri/
-1(55)%5C%5C-3(16)%2B55%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D)
![\[ T_{2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \]](https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0956a9a2f47790b20d98f8a75ccc8133_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ \textrm{A.} \; \; \; \begin{pmatrix} 8 \\ 3 \end{pmatrix} \]](https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3a77d70068a46d4ee02f9e5cf927d60c_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ \textrm{B.} \; \; \; \begin{pmatrix} 3 \\ 8 \end{pmatrix} \]](https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-701e976ba75326ab346a9df894e73048_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ \textrm{C.} \; \; \; \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix} \]](https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-19b9e956e6cf4dd255ea94102bcc841b_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ \textrm{D.} \; \; \; \begin{pmatrix} 1 \\ 8 \end{pmatrix} \]](https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-64a28089a8aced434ca330dc20d44272_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ \textrm{E.} \; \; \; \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix} \]](https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-84731d30ba09a9553f1d3c9bf33317fa_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ T_{1} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \]](https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d452a8bbc02be985b17bb2cd57f2c90c_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ T_{2} \bullet T_{1} = \begin{pmatrix} a + 4 \\ b + 1 \end{pmatrix} \]](https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a88f64a353b9ac983d7b284ddfd973a2_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ T_{1} = \begin{pmatrix} 3 \\ 8 \end{pmatrix} \]](https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-efd697af9e79d4724d358fe2150bd291_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \]](https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-429da3e6d718bcf1f51160bb1f5bed38_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ \begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3x' + 2y' \\ -x' + y' \end{pmatrix} \]](https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-86a3668197c46a9882cf94cec83b53f7_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ -x' + 3y' - 11 = 0 \]](https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-25b956a7d39bf25ac4e2e07546cb6bc9_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ -\left( 2y'' - x'' \right) + 3\left( 3y'' - x'' \right) - 11 = 0 \]](https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c77129b504bd3551c1667fcebb34a84a_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ -2y'' + x'' + 9y'' - 3x'' - 11 = 0 \]](https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1399076ea7efc9b31db1d24b485c5640_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ 2x'' - 7y'' + 11 = 0 \]](https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-22163560302cf4795da3fe478e988cd3_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ \begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos \; 90^{o} & -sin \; 90^{o} \\ sin \; 90^{o} & cos \; 90^{o} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} \]](https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-92d182990a677c122a51fd46eb309610_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ \begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} \]](https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7eaa13f20fdd1735d4d1e8bc184b954f_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ \begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y' \\ x' \end{pmatrix} \]](https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a7795888d1a74be91e1eadcfb2e4328f_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 - 3 \\ b- 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}\]](https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a75de9538a7d041bcf6a383419f969cb_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ \begin{pmatrix} a \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ b- 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}\]](https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-75ae725c2f84cc4823e9570b46372473_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ \begin{pmatrix} a \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3b - 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}\]](https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-96eb038a58d74be2919db4b6dbc40ddb_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ \begin{pmatrix} a \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ 3b - 2 \end{pmatrix} \]](https://idschool.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-107ac28f3b159ed871c265f62b567a2e_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
![B(A(HA)) = \left(\begin{array}{rr} -1&0\\ 0&1\end{array}\right) ( \left(\begin{array}{rr} 1&0\\ 0&-1\end{array}\right) [ \left(\begin{array}{rr} -1&0\\ 0&-1\end{array}\right) \left(\begin{array}{rr} -1&0\\ 0&-1\end{array}\right) ]))](https://s0.wp.com/latex.php?latex=B%28A%28HA%29%29+%3D+%5Cleft%28%5Cbegin%7Barray%7D%7Brr%7D+-1%260%5C%5C+0%261%5Cend%7Barray%7D%5Cright%29+%28+%5Cleft%28%5Cbegin%7Barray%7D%7Brr%7D+1%260%5C%5C+0%26-1%5Cend%7Barray%7D%5Cright%29+%5B+%5Cleft%28%5Cbegin%7Barray%7D%7Brr%7D+-1%260%5C%5C+0%26-1%5Cend%7Barray%7D%5Cright%29+%5Cleft%28%5Cbegin%7Barray%7D%7Brr%7D+-1%260%5C%5C+0%26-1%5Cend%7Barray%7D%5Cright%29+%5D%29%29&bg=f9f9f9&fg=000000&s=0 "B(A(HA)) = \left(\begin{array}{rr} -1&0\\ 0&1\end{array}\right) ( \left(\begin{array}{rr} 1&0\\ 0&-1\end{array}\right) [ \left(\begin{array}{rr} -1&0\\ 0&-1\end{array}\right) \left(\begin{array}{rr} -1&0\\ 0&-1\end{array}\right) ]))")
, titik 
dan titik Q masing-masing ditransformasikan ke titik 
dan 
. Tentukan koordinat titik Q. (SPMB’04)
