pengalaman belajar matematika: BARISAN DAN DERET ARITMATIKA BESERTA CONTOH SOALNYA

NASYWA KAYLA ZAHRA

XI IPS 2

ASSALAMUALAIKUM WR.WB

Pengertian Barisan aritmatika adalah baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui penjumlahan atau pengurangan dengan suatu bilangan. Selisih atau beda antara nilai suku-suku yang berdekatan selalu sama yaitu b. Nilai suku pertama dilambangkan dengan a.

Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan arimatika dapat dihitung dengan rumus berikut.

$U_{n}=a+(n-1)b$

Sedangkan untuk pengertian dari Deret aritmatika adalah penjumlahan suku-suku dari barisan aritmatika.

Penjumlahan dari suku-suku pertama sampai suku ke-n barisan aritmatika dapat dihitung dengan rumus berikut.

$S_{n}=\frac{n}{2}(a+U_{n})$

atau jika kita substitusikan $U_{n}=a+(n-1)b$ maka
$S_{n}=\frac{n}{2}(a+(a+(n-1)b))$
$S_{n}=\frac{n}{2}(2a+(n-1)b)$

Supaya tidak bingung lantaran menghadapi terlalu banyak rumus, coba perhatikan contoh latihan soal di bawah ini deh.

Contoh Soal 1:

Suku ke-40 dari barisan 7, 5, 3, 1, … adalah …

Pembahasan:

Diketahui: a = 7
b = –2
ditanya $U_{40}$

Jawab:
$U_{n}=a+(n-1)b$
$U_{40}=7+(40-1)(-2)$
= 7 + 39 . (-2)
= 7 + (-78)
= – 71
Jadi, suku ke-40 barisan aritmatika tersebut adalah –71.

Contoh Soal 2:

Rumus suku ke-n dari barisan 5, –2, –9, –16, … adalah …

Pembahasan:

Diketahui: a = 5

b = –7

Ditanya: rumus suku ke-n barisan aritmatika tersebut = ?

Jawab:

$U_{n}=a+(n-1)b$
$=5+(n-1).(-7)$
$=5-7n+7$
$=12-7n$

Jadi, rumus suku ke-n barisan aritmatika tersebut adalah $U_{n}=12-7n$

Contoh Soal 3:

Dalam suatu gedung pertunjukkan disusun kursi dengan baris paling depan terdiri dari 12 kursi, baris kedua berisi 14 kursi, baris ketiga berisi 16 kursi, dan seterusnya. Banyaknya kursi pada baris ke-20 adalah …

Pembahasan:

Diketahui: a = 12

b = 2

Ditanyakan $U_{20}=?$

Jawab:

$U_{n}=a+(n-1)b$
$U_{20}=12+(20-1)2$
$=12+(19).2$
$=12+(38)$
$=50$

Jadi, banyaknya kursi pada baris ke-20 adalah 50 kursi.

Contoh Soal 4:

Rumus jumlah n suku pertama deret bilangan 2 + 4 + 6 + … + $U_{n}$ adalah …

Pembahasan:

Diketahui: a = 2

b = 2

Ditanya: rumus jumlah n suku pertama barisan aritmatika tersebut = ?

Jawab:
$S_{n}=\frac{n}{2}(2a+(n-1)b)$
$=\frac{n}{2}(2.2+(n-1)2)$
$=\frac{n}{2}(4+2n-2)$
$=\frac{n}{2}(2+2n)$
$=\frac{n}{2}.2(1+n)$
$=n(1+n)$
$=n+n^{2}$

Jadi, rumus jumlah n suku pertama barisan aritmatika tersebut adalah $S_{n}=n+n^{2}$

Contoh Soal 5:

Diketahui deret aritmatika dengan suku ke-3 adalah 24 dan suku ke-6 adalah 36. Jumlah 15 suku pertama deret tersebut adalah …

Pembahasan:

Diketahui $U_{3}=24$
$U_{6}=36$

Ditanya: $S_{15}=?$

Jawab:

Sebelum kita mencari nilai dari $S_{15}$ , kita akan mencari nilai a dan b terlebih dahulu dengan cara eliminasi dan subtitusi dari persamaan $U_{3}$ dan $U_{6}$ .

Sebelumnya mari ingat lagi bahwa $U_{n}=a+(n-1)b$ sehingga $U_{3}$ dan $U_{6}$ dapat ditulis menjadi $U_{3}=24$

$a+(3-1)b=24$
$a+2b=24$ . . .(i)
$U_{6}=36$
$a+(6-1)b=36$
$a+5b=36$ . . .(ii)

Eliminasi a menggunakan persamaan i dan ii.

a + 2b = 24
a + 5b = 36 –
-3b = -12
$b=\frac{-12}{-3}$
b = 4

Lalu, substitusikan nilai b = 4 ke salah satu persamaan (contoh persamaan i).

a + 2b = 24

a + 2 . 4 = 24

a + 8 = 24

a= 24 – 8

a = 16

Setelah mendapatkan nilai a dan b, baru kita bisa mencari nilai dari $S_{15}$
$S_{n}=\frac{n}{2}(2a+(n-1)b)$
$S_{15}=\frac{15}{2}(2.16+(15-1)4)$
$=\frac{15}{2}(32+14.4)$
$=\frac{15}{2}(32+56)$
$=\frac{15}{2}.88$
$=660$

Jadi, jumlah 15 suku pertama deret tersebut adalah 660.

https://www.zenius.net/blog/23365/materi-soal-barisan-deret-aritmatika

Barisan Aritmatika

Barisan aritmatika (Un) adalah barisan bilangan yang memiliki pola tetap berdasarkan operasi penjumlahan dan pengurangan.

Barisan aritmatika terdiri atas suku ke-satu (U₁), suku ke-dua (U₂) dan seterusnya hingga sebanyak n atau suku ke-n (Un).

Setiap sukunya memiliki selisih atau beda yang sama. Selisih setiap sukunya inilah yang disebut beda, disimbolkan sebagai b. Suku pertama U₁ juga disimbolkan sebagai a.

Pola bilangan aritmatika — *contoh Barisan aritmatika*

Barisan aritmatika : 0,5,10,15,20,25,….,Un

Sebagai contoh diatas merupakan Barisan aritmatika yang memiliki beda yang sama yaitu b=5 dan suku pertama adalah a=0. Selisih didapatkan dari pengurangan setiap sukunya. Misalnya suku kedua U₂ dikurangi suku pertama U₁ , b= U₂ – U₁ = 5 – 0 = 5, nilai b juga dapat diperoleh dari suku ketiga dikurangi suku ke dua dan seterusnya, mudah bukan?

Nah, untuk mencari rumus suku ke-n (Un) kita dapat menggunakan rumus praktis yang mudah digunakan.

Dimana, Un adalah suku ke-n, U_n-1 adalah suku sebelum n, a adalah suku pertama, b adalah beda dan n adalah bilangan bulat.

untuk lebih jelasnya mengenai materi deret aritmatika, perhatikan contoh soal berikut,

1. Diketahui suatu barisan aritmatika 3,7,11,15,….,Un. Tentukan berapa suku ke-sepuluh U₁₀ baris diatas?

Pembahasan:

Diketahui dari barisan diatas bahwa suku pertamanya a adalah 3, mempunyai beda b yaitu 4 dan n = 10.

Berapa suku ke-sepuluh U₁₀ nya? menggunakan rumus sebelumnya , U₁₀ didapatkan sebagai berikut

U_n = a + (n-1)b

U₁₀= 3 + (10-1)4

= 3 + 36

= 39

Jadi, suku ke-sepuluh dari barisan aritmatika diatas adalah 39

Deret Aritmatika

Seperti bahasan sebelumnya, Barisan aritmatika menyatakan susunan bilangan berurutan U₁ , U₂ , … , U_n yang mempunyai pola yang sama . Sedangkan deret aritmatika adalah jumlah susunan bilangan pada Barisan aritmatika U₁+ U₂ +… + Un sampai suku-n.

Secara konsep sebenarnya untuk deret aritmatika ini sederhana karena kita hanya menjumlahkan Barisan aritmatika yang sudah kita bahas sebelumnya sampai suku ke-n tergantung apa yang diperintahkan.

Misalnya kita menjumlahkan Barisan contoh soal sebelumnya sampai suku ke-empat, mudah bukan? Tetapi bagaimana kalau menjumlahkan Barisan aritmatika sampe suku ke 100, wah kok jadi sulit ya.

Oleh karena itu, untuk mempermudah menghitung deret aritmatika ini digunakan rumus praktis

Dengan,

a adalah suku pertama

b adalah beda

Sn adalah jumlah suku ke-n

Contoh soal deret aritmatika

Diketahui suatu deret aritmatika 3+7+11+15+….+Un. Tentukan jumlah suku ke-sepuluh U₁₀ deret diatas

Pembahasan:

Diketahui pada deret diatas a = 3, b = 4 dan n= 10, Ditanyakan berapakah jumlah suku ke-10 deret diatas.

Dengan menggunakan rumus

Sn = n/2 (2a+(n-1)b)

S₁₀ = 10/2 (2.3+(10-1). 4)

= 5.(6+36)

=210

Jadi, jumlah deret suku ke-sepuluh diatas adalah 252

Nah, sudah mengerti kan materi tentang deret aritmatika, untuk lebih mahir lagi mengerjakan soal deret, simak contoh soal berikut.

1. Diketahui suatu deret aritmetika dengan suku pertama 10 dan suku keenam 20.
a. Tentukan beda deret aritmetika tersebut.
b. Tuliskan deret aritmetika tersebut.
c. Tentukan jumlah enam suku pertama deret aritmetika tersebut.

Pembahasan:

Diketahui jika a=10 dan U6 = 20,

a. Un = a+(n-1)b

U6= a+(6-1) b

20= 10+(5)b

b= 10/5 = 2

b. Deret aritmatika : 10+12+14+16+18+20+…+Un

c. Jumlah Suku ke-enam S6,

Sn =n/2 (2a+(n-1)b)

S6= 6/2 (2.10+(6-1) 2)

=3(20+10)

=90

Jadi, jumlah Suku ke-enam deret diatas adalah 90

2. Diketahui suatua barisan aritmatika :2, 6, 10, 14, 18, ………U_n. Tentukan rumus suku ke-n dalam barisan aritmetika tersebut.

Pembahasan:

Diketahui baris aritmatika diatas, a = 2 dan b = 4, Ditanyakan rumus suku ke-n

Un = a+(n-1) b

Un = 2+(n-1)4

Un= 2+4n-4

Un=4n-2

Jadi, rumus ke-n untuk baris diatas adalah Un=4n-2.

DAFTAR PUSTAKA

https://saintif.com/deret-aritmatika/

https://www.zenius.net/blog/23365/materi-soal-barisan-deret-aritmatika

pengalaman belajar matematika

Minggu, 01 November 2020

BARISAN DAN DERET ARITMATIKA BESERTA CONTOH SOALNYA

Contoh Soal 1:

Contoh Soal 2:

Contoh Soal 3:

Contoh Soal 4:

Contoh Soal 5:

Barisan Aritmatika

Deret Aritmatika

Tidak ada komentar:

Posting Komentar