SOAL PTS DAN PEMBAHASAN
Assalamualaikum wr.wb
Nasywa Kayla Zahra
XI IPS 2
SOAL PTS DAN PEMBAHASAN
Assalamualaikum wr.wb
Nasywa Kayla Zahra
XI IPS 2
Nasywa Kayla Zahra
27
XI IPS 2
Assalamualaikum Wr.Wb
Berikut langkah-langkah mengambar grafik suatu fungsi menggunakan turunan :
i). Menentukan titik potong (tipot) dengan sumbu-sumbu koordinat (sumbu X dan sumbu Y). Titik potong sumbu X, substitusi y=0y=0 . Titik potong sumbu Y, substitusi x=0x=0 .
ii). Menentukan titik-titik stasioner dan jenisnya (titik balik minimum, titik balik maksimum, dan titik belok).
iii). Menentukan titik bantuan lain agar grafiknya lebih mudah sketsa, atau bisa juga secara umum menentukan nilai yy untuk xx besar positif dan untuk xx besar negatif.Contoh :
1). Gambarlah grafik kurva y=3x2−x3y=3x2−x3.
Penyelesaian : i). Menentukan titik potong pada sumbu-sumbu : *). Tipot sumbu X, substitusi y=0
y=0 y=0→y 0=3x2−x3
3x2−x3=0
x2(3−x)
x=0 ∨ x =3
Sehingga titik potong sumbu X adalah (0,0) dan (3,0). *). Tipot sumbu Y, substitusi x=0
y=3x2−x3 = 3.02−03 = 0y = 3x2−x3 = 3.02−03 = 0
Sehingga titik potong sumbu Y adalah (0,0).
ii). Menentukan titik-titik stasioner,
Fungsi : y=3x2−x3 f′(x)=6x−3x2f′(x)=6x−3x2 dan f′′(x)=6−6x
*). Syarat stasioner : f′(x)=0
f′(x)=0 6x−3x2=0
3x(2−x)=0
x=0 v x =2
Untuk x=0x=0 , nilai stasionernya f(0)=3.02−03=0 titik stasionernya (0,0) . Untuk x=2x=2 , nilai stasionernya f(2)=3.22−23=4 titik stasionernya (2,4).
*). Menentukan jenis stasionernya, gunakan turunan kedua : f′′(x)=6−6xf′′(x)=6−6x Untuk x=0→f′′(0)=6−6.0=6x=0→f′′(0)=6−6.0=6 (positif) , jenisnya minimum. Untuk x=2→f′′(2)=6−6.2=−6x=2→f′′(2)=6−6.2=−6 (negatif) , jenisnya maksimum. Artinya titik (0,0) adalah titik balik minimum dan titik (2,4) adalah titik balik maksimum.
iii). Berdasarkan fungsi y=3x2−x3,y=3x2−x3, kita substitusi beberapa nilai xx yaitu : Untuk xx semakin besar, nilai yy semakin besar negatif (ke bawah) dan untuk xxsemakin kecil, nilai yy semakin besar positif (ke atas).
CONTOH SOAL
Gambarkan grafik berikut dengan menggunakan konsep turunan.
Titik stasioner diperoleh berada di titik (1, -1) sebagai berikut:
Pada fungsi tidak terdapat titik belok karena 2 tidak sama dengan nol, sepertii berikut:
Titik optimum berada di titik (1, -1) dengan melakukan uji titik stasioner ke turunan kedua fungsi, , dimana f''(x)=2>0. Sehingga grafik fungsi dengan konsep turunan pada soal dapat kita gambarkan seperti di bawah ini:
Nasywa Kayla Zahra
XI IPS 2
27
Nilai Stasioner
![]() |
Gambar 1. grafik fungsi f(x) = – (x – 1)2 + 4. |
Pertama, kita definisikan suatu fungsi dapat dikatakan sebagai fungsi naik atau fungsi turun. Perhatikan definisi berikut.
Definisi Fungsi Naik dan Turun
Suatu fungsi f dikatakan naik pada suatu selang jika untuk sembarang dua bilangan x1 dan x2 dalam selang tersebut, x1 < x2 mengakibatkan f(x1) < f(x2).
Suatu fungsi f dikatakan turun pada suatu selang jika untuk sembarang dua bilangan x1 dan x2 dalam selang tersebut, x1 < x2 mengakibatkan f(x1) > f(x2).
Suatu fungsi dikatakan naik jika x bergerak ke kanan, grafik fungsi tersebut bergerak ke atas, dan turun jika grafik fungsi tersebut bergerak ke bawah. Sebagai contoh, fungsi di samping naik pada selang (–∞, a), konstan pada selang (a, b), dan turun pada selang (b, ∞). Seperti yang ditunjukkan Teorema Uji Fungsi Naik dan Turun di bawah ini, turunan positif akan mengakibatkan suatu fungsi akan naik, turunan negatif akan mengakibatkan fungsi tersebut turun, dan turunan nol pada seluruh selang akan mengakibatkan fungsi tersebut konstan pada selang tersebut.
Teorema Uji Fungsi Naik dan Turun
Misalkan f adalah fungsi yang kontinu pada selang tutup [a, b] dan terdiferensialkan pada selang buka (a, b).
Pembuktian
Kasus 1: Untuk membuktikan kasus pertama, anggap bahwa f ’(x) > 0 untuk semua x dalam selang (a, b) dan misalkan x1 < x2 adalah sembarang dua titik dalam selang tersebut. Berdasarkan Teorema Nilai Rata-Rata, kita tahu bahwa ada suatu bilangan c sedemikian sehingga x1 < c < x2, dan
Karena f ’(c) > 0 dan x2 – x1 > 0, maka f(x2) – f(x1) > 0, yang mengakibatkan bahwa f(x1) < f(x2). Jadi, f naik pada selang tersebut.
Kasus 2: Untuk kasus ini, kita dapat membuktikannya dengan menggunakan alur yang serupa dengan kasus 1.
Kasus 3: Misalkan f ’(x) = 0 untuk semua x dalam selang (a, b) dan misalkan x1 < x2 adalah sembarang duat titik dalam selang tersebut. Berdasarkan Teorema Nilai Rata-Rata, kita tahu bahwa ada suatu bilangan c sedemikian sehingga x1 < c < x2, dan
Karena f ’(c) = 0 maka f(x1) – f(x2) = 0, yang berakibat f(x1) = f(x2). Jadi, fungsi tersebut tidak naik ataupun tidak turun. Dengan kata lain, fungsi tersebut konstan pada selang tersebut.
Soal Nomor 1
Interval x yang membuat kurva fungsi f(x)=x3−6x2+9x+2 selalu turun adalah ⋯⋅
A. −1<x<3
B. 0<x<3
C. 1<x<3
D. x<1 atau x>3
E. x<0 atau x>3
Diketahui f(x)=x3−6x2+9x+2
sehingga turunan pertamanya adalah f′(x)=3x2−12x+9.
Kurva f(x) selalu turun jika diberi syarat f′(x)<0.
3x2−12x+9<0Kedua ruas dibagi dengan 3x2−4x+3<0(x−3)(x−1)<0∴1<x<3
Jadi, interval x yang membuat kurva fungsi f(x) selalu turun adalah 1<x<3
(Jawaban C)
Soal Nomor 2
Diberikan fungsi g(x)=2x3−9x2+12x. Interval x yang memenuhi kurva fungsi g(x) selalu naik adalah ⋯⋅
A. x<−2 atau x>−1
B. x<−1 atau x>2
C. x<1 atau x>2
D. 1<x<2
E. −1<x<2
Diketahui g(x)=2x3−9x2+12x
, sehingga turunan pertamanya adalah g′(x)=6x2−18x+12.
Kurva g(x) selalu naik jika diberi syarat g′(x)>0.
6x2−18x+12>0Kedua ruas dibagi dengan 6x2−3x+2>0(x−2)(x−1)>0∴x<1 atau x>2
Jadi, interval x yang membuat kurva fungsi g(x) selalu naik adalah x<1 atau x>2
(Jawaban C)
Soal Nomor 3
Grafik fungsi p(x)=x(6−x)2
tidak pernah turun dalam interval ⋯⋅
A. x≤−2 atau x≥6
B. x≤2 atau x≥6
C. x<2 atau x≥6
D. x≤2 atau x>6
E. x<2 atau x>6
Diketahui p(x)=x(6−x)2
. Turunan pertama p(x) dapat dicari secara manual dengan menjabarkan seperti berikut (pangkatnya masih kecil, sehingga masih sangat memungkinkan untuk dijabarkan).
p(x)=x(6−x)2=x(36−12x+x2)=36x−12x2+x3p′(x)=36−24x+3x2
Grafik fungsi p(x) tidak pernah turun jika diberi syarat p′(x)≥0.
36−24x+3x2≥0Kedua ruas dibagi dengan 3x2−8x+12≥0(x−2)(x−6)≥0∴x≤2 atau x≥6
Jadi, interval x yang membuat grafik fungsi p(x) tidak pernah turun adalah x≤2 atau x≥6
(Jawaban B)
Soal Nomor 4
Grafik fungsi π(x)=x3+3x2+5
tidak pernah naik untuk nilai-nilai ⋯⋅
A. −2≤x≤0
B. −2≤x<0
C. −2<x≤0
D. x≤−2 atau x≥0
E. −2<x<0Pembahasan
Diketahui π(x)=x3+3x2+5
sehingga turunan pertamanya adalah π′(x)=3x2+6x.
Grafik fungsi π(x) tidak pernah naik jika diberi syarat π′(x)≤0.
3x2+6x≤0Kedua ruas dibagi dengan 3x2+2x≤0x(x+2)≤0∴−2≤x≤0
Jadi, interval x yang membuat grafik fungsi π(x) tidak pernah turun adalah −2≤x≤0
(Jawaban A)
Soal Nomor 5
Diberikan fungsi R(x)=x3−3x2+3x−2. Nilai-nilai x dari fungsi tersebut mengakibatkan kurva fungsi R(x) ⋯⋅
A. tidak pernah naik
B. tidak pernah turun
C. bisa naik, bisa turun
D. selalu turun
E. selalu naik
Diketahui R(x)=x3−3x2+3x−2
tidak pernah turun, melainkan stasioner (tetap) atau naik, seperti yang tampak pada sketsa gambar berikut.
Soal Nomor 6
Nilai-nilai x dari fungsi y=x2+3x−1 yang mengakibatkan kurva fungsi itu selalu turun adalah ⋯⋅
Diketahui y=x2+3x−1
Turunan pertamanya dapat ditentukan dengan menggunakan aturan hasil bagi.
Misalkan u=x2+3⇒u′=2x dan v=x−1⇒v′=1, sehingga
y′=u′v−uv′v2=2x(x−1)−(x2+3)(1)(x−1)2=2x2−2x−x2−3
(x−1)2=x2−2x−3(x−1)2=(x−3)(x+1)(x−1)2
Grafik fungsi tersebut selalu turun jika diberi syarat y′<0, yaitu
(x−3)(x+1)(x−1)2<0.
Dari pertidaksamaan di atas, diketahui bahwa penyebut dipastikan bernilai positif untuk x≠1, sehingga yang memengaruhi tanda hanya pembilangnya saja.
Agar keseluruhan bernilai negatif, pembilangnya harus dibuat negatif.
(x−3)(x+1)<0∴−1<x<3
Karena x≠1 (berakibat penyebut bernilai 0), maka kita peroleh bahwa interval x yang memenuhi adalah seluruh bilangan di antara −1 dan 3, kecuali 1, kita tulis
−1<x<1 atau 1<x<3
(Jawaban D)
Soal Nomor 8
Grafik fungsi f(x)=ax3+x2+5
Diketahui f(x)=ax3+x2+5
(Jawaban B)
Soal Nomor 10
Grafik fungsi f(x)=x3+ax2+bx+c
Diketahui f(x)=x3+ax2+bx+c
(Jawaban A)
Soal Nomor 11
Grafik fungsi L(x)=ax3+9bx2−24x+5
Diketahui L(x)=ax3+9bx2−24x+5
(Jawaban C)
Soal Nomor 12
Fungsi f(x)=sin2x
Diketahui f(x)=sin2x
, seperti yang dipertegas pada sketsa grafik berikut.(Jawaban C)
DAFTAR PUSTAKA
https://yos3prens.wordpress.com/2015/03/24/penerapan-turunan-fungsi-naik-dan-turun-serta-uji-turunan-pertama/#:~:text=Definisi%20Fungsi%20Naik%20dan%20Turun&text=Suatu%20fungsi%20dikatakan%20naik%20jika,selang%20(b%2C%20%E2%88%9E).
https://www.nafiun.com/2014/06/pengertian-nilai-stasioner-fungsi-contoh-soal-rumus-cara-menetukan-dan-menghitung-pembahasan-matematika.html