Nasywa Kayla Zahra
XI IPS 2
27
Assalamualaikum Wr.Wb
Persamaan Garis Singgung Kurva dan Persamaan Garis Normal di suatu Titik pada Kurva
Garis Singgung
Sebuah garis disebut sebagai garis singgung kurva jika garis tersebut hanya memiliki satu titik persekutuan (titik singgung) dengan kurva. Karena garis singgung hanya memiliki satu titik persekutuan dengan kurva, maka untuk mendapatkan nilai kemiringannya dapat kita dekati dengan garis lain (garis secan) yang gradiennya dapat ditentukan secara langsung.
Garis Normal
Garis normal merupakan garis yang melalui titik singgung dan tegak lurus dengan garis singgung.
Garis singgung bergradien m, jika titik yang dilaluinya adalah titik singgung A(x1,y1) maka persamaan garis singgungnya adalah
Persamaan garis normal bergradien
dan melalui A(x1,y1)
Persamaan Garis Singgung Kurva
Persamaan garis singgung kurva y = f(x) yang disinggung oleh sebuah garis di titik (x1,y1), maka gradien garis singgung tersebut adalah m = f'(x1). Sementara itu x1 dan y1 memiliki hubungan y1 = f(x1). Sehingga persamaan garis singgungnya bisa dinyatakan dengan y – y1 = m(x – x1).
Contoh Soal Persamaan Garis Singgung Kurva
Soal No.1Carilah gradien garis singgung kurva f(x) = 5x2 – 8x + 4 di titik(2, 8) ?
Pembahasan
Titik singgung dititik (2, 8), maka x1 = 2
Dengan demikian, gradien garis adalah : m = f’(x1)
m = 10x1 – 8
m = 10(2) – 8
m = 12
Dengan demikian, gradien garis adalah : m = f’(x1)
m = 10x1 – 8
m = 10(2) – 8
m = 12
Soal No.2
Tentukanlah persamaan garis singgung untuk kurva y = x2 + 2x di titik (1,3)
Pembahasan
f(x) = x2 + 2x
f'(x) = 2x + 2
m = f '(1) = 2(1) + 2 = 4
m = 4
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah :
y – y1 = m(x – x1)
y − 3 = 4(x − 1)
y − 3 = 4x − 4
y = 4x − 1
f'(x) = 2x + 2
m = f '(1) = 2(1) + 2 = 4
m = 4
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah :
y – y1 = m(x – x1)
y − 3 = 4(x − 1)
y − 3 = 4x − 4
y = 4x − 1
Soal No.3
Tentukanlah Persamaan garis singgung kurva y = 2x - 3x2 di titik dengan absis 2
Pembahasan
Absis itu adalah sumbu-x, jadi x =2:
Langkah 1 : Cari titik singgung dengan memasukkan nilai x = 2
y = 2x - 3x2
y = 2(2) − 3(2)2
y = −8
Jadi titik singgung : (2, −8)
Langkah 2: Cari nilai gradien
f(x) = 2x − 3x2
f '(x) = 2 − 6x
m = f '(2) = 2 − 6(2) = −10
m = −10
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah :
y – y1 = m(x – x1)
y − (−8) = −10(x − 2)
y + 8 = −10x + 20
y = −10x + 12
Langkah 1 : Cari titik singgung dengan memasukkan nilai x = 2
y = 2x - 3x2
y = 2(2) − 3(2)2
y = −8
Jadi titik singgung : (2, −8)
Langkah 2: Cari nilai gradien
f(x) = 2x − 3x2
f '(x) = 2 − 6x
m = f '(2) = 2 − 6(2) = −10
m = −10
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah :
y – y1 = m(x – x1)
y − (−8) = −10(x − 2)
y + 8 = −10x + 20
y = −10x + 12
Soal No.4
Tentukanlah Persamaan garis singgung kurva y = 2x3 - 4x2 di titik berabsis 2
Pembahasan
Absis itu adalah sumbu-x, jadi x =2:
Langkah 1 : Cari titik singgung dengan memasukkan nilai x = 2
y = 2x3 - 4x2
y = 2(2)3 − 4(2)2
y = 16 - 16
y = 0
Jadi titik singgung : (2, 0)
Langkah 2: Cari nilai gradien
f(x) = 2x3 - 4x2
f '(x) = 6x2 - 8x
m = f '(2) = 6(2)2 − 8(2)
m = 24 - 16
m = 8
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah :
y – y1 = m(x – x1)
y − 0 = 8(x − 2)
y = 8x - 16
Langkah 1 : Cari titik singgung dengan memasukkan nilai x = 2
y = 2x3 - 4x2
y = 2(2)3 − 4(2)2
y = 16 - 16
y = 0
Jadi titik singgung : (2, 0)
Langkah 2: Cari nilai gradien
f(x) = 2x3 - 4x2
f '(x) = 6x2 - 8x
m = f '(2) = 6(2)2 − 8(2)
m = 24 - 16
m = 8
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah :
y – y1 = m(x – x1)
y − 0 = 8(x − 2)
y = 8x - 16
Soal No.5
Tentukanlah Persamaan garis singgung kurva y = x2 di titik berabsis -2
Pembahasan
Absis itu adalah sumbu-x, jadi x = -2:
Langkah 1 : Cari titik singgung dengan memasukkan nilai x = -2
y = x2
y = (-2)2
y = 4
Jadi titik singgung : (-2, 4)
Langkah 2: Cari nilai gradien
f(x) = x2
f '(x) = 2x
m = f '(-2) = 2(-2)
m = -4
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah :
y – y1 = m(x – x1)
y − 4 = -4(x − (-2))
y - 4 = -4x - 8
y = -4x - 4
Langkah 1 : Cari titik singgung dengan memasukkan nilai x = -2
y = x2
y = (-2)2
y = 4
Jadi titik singgung : (-2, 4)
Langkah 2: Cari nilai gradien
f(x) = x2
f '(x) = 2x
m = f '(-2) = 2(-2)
m = -4
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah :
y – y1 = m(x – x1)
y − 4 = -4(x − (-2))
y - 4 = -4x - 8
y = -4x - 4
Soal No.6
Tentukanlah persamaan garis singgung untuk kurva y = 3 + 2x - x2 sejajar dengan garis 4x + y = 3
Pembahasan
Langkah 1 : Cari nilai m1
y = 3 + 2x - x2
m1 = f'(x) = -2x + 2
m1 = -2x + 2
Langkah 2 : Cari nilai m2
4x + y = 3
y = -4x + 3
m2 = -4 (Inga !! Jika y = ax + b ⇒ m = a )
Langkah 3 : Cari nilai x
Karena kedua garis saling sejajar maka berlaku :
m1 = m2
-2x + 2 = -4
-2x = -6
x = 3
Langkah 4 : Cari nilai y dengan memasukkan nilai x = 3
y = 3 + 2x - x2
y = 3 + 2(3) - 32
y = 3 + 6 - 9
y = 0
Sekarang kita telah memiliki titik singgung (3,0)
Langkah 4: Persamaan garis singgung
y – y1 = m(x – x1)
y - 0 = -4(x - 3)
y = -4x + 12
y = 3 + 2x - x2
m1 = f'(x) = -2x + 2
m1 = -2x + 2
Langkah 2 : Cari nilai m2
4x + y = 3
y = -4x + 3
m2 = -4 (Inga !! Jika y = ax + b ⇒ m = a )
Langkah 3 : Cari nilai x
Karena kedua garis saling sejajar maka berlaku :
m1 = m2
-2x + 2 = -4
-2x = -6
x = 3
Langkah 4 : Cari nilai y dengan memasukkan nilai x = 3
y = 3 + 2x - x2
y = 3 + 2(3) - 32
y = 3 + 6 - 9
y = 0
Sekarang kita telah memiliki titik singgung (3,0)
Langkah 4: Persamaan garis singgung
y – y1 = m(x – x1)
y - 0 = -4(x - 3)
y = -4x + 12
Soal No.7
Carilah persamaan garis singgung pada kurva y = x3 + 10 di titik yang berordinat 18 ?
Pembahasan
Ordinat itu adalah sumbu-y, jadi y = 18
Langkah 1 : Cari titik singgung dengan memasukkan nilai y = 18
y = x3 + 10
18 = x3 + 10
x3 = 18 - 10
x3 = 8
x = 2
Jadi titik singgung : (2,18)
Langkah 2: Cari nilai gradien
f(x) = x3 + 10
f'(x) = 3x2
m = f'(2) = 3(2)2
m = 12
Jadi,Persamaan garis singgungnya adalah y – y1 = m(x – x1)
y - 18 = 12(x - 2)
y - 8 = 12x - 24
y = 12x - 16
Langkah 1 : Cari titik singgung dengan memasukkan nilai y = 18
y = x3 + 10
18 = x3 + 10
x3 = 18 - 10
x3 = 8
x = 2
Jadi titik singgung : (2,18)
Langkah 2: Cari nilai gradien
f(x) = x3 + 10
f'(x) = 3x2
m = f'(2) = 3(2)2
m = 12
Jadi,Persamaan garis singgungnya adalah y – y1 = m(x – x1)
y - 18 = 12(x - 2)
y - 8 = 12x - 24
y = 12x - 16
Soal No.8
Carilah persamaan garis singgung pada kurva y = x2 - x + 3 di titik yang berordinat 5 ?
Pembahasan
Ordinat itu adalah sumbu-y, jadi y = 5
Langkah 1 : Cari titik singgung dengan memasukkan nilai y = 5
y = x2 - x + 3
5 = x2 - x + 3
x2 - x + 3 - 5 = 0
x2 - x - 2 = 0
(x - 2)(x + 1) = 0
x = 2 atau x = -1
Jadi terdapat dua titik singgung : (2,5) atau (-1,5)
Langkah 2: Cari nilai gradien
Nilai gradien untuk x = 2
f(x) = x2 - x + 3
f'(x) = 2x - 1
m = f'(2) = 2(2) - 1
m = 3
Nilai gradien untuk x = -1
f(x) = x2 - x + 3
f'(x) = 2x - 1
m = f'(-1) = 2(-1) - 1
m = -3
Langkah 3: Menentukan persamaan garis singgung
Karena kita memiliki dua titik singgung, tentunya akan ada dua persamaan garis singgung
Persamaan garis singgungnya untuk titik (2,5) dengan m = 3
y – y1 = m(x – x1)
y - 5 = 3(x - 2)
y = 3x - 6 + 5
y = 3x - 1
Persamaan garis singgungnya untuk titik (-1,5) dengan m = -3
y – y1 = m(x – x1)
y - 5 = -3(x - (-1))
y - 5 = -3x - 3
y = -3x + 2
Jadi, ada dua persamaan garis singgung, yaitu y = 3x - 1 atau y = -3x + 2
Langkah 1 : Cari titik singgung dengan memasukkan nilai y = 5
y = x2 - x + 3
5 = x2 - x + 3
x2 - x + 3 - 5 = 0
x2 - x - 2 = 0
(x - 2)(x + 1) = 0
x = 2 atau x = -1
Jadi terdapat dua titik singgung : (2,5) atau (-1,5)
Langkah 2: Cari nilai gradien
Nilai gradien untuk x = 2
f(x) = x2 - x + 3
f'(x) = 2x - 1
m = f'(2) = 2(2) - 1
m = 3
Nilai gradien untuk x = -1
f(x) = x2 - x + 3
f'(x) = 2x - 1
m = f'(-1) = 2(-1) - 1
m = -3
Langkah 3: Menentukan persamaan garis singgung
Karena kita memiliki dua titik singgung, tentunya akan ada dua persamaan garis singgung
Persamaan garis singgungnya untuk titik (2,5) dengan m = 3
y – y1 = m(x – x1)
y - 5 = 3(x - 2)
y = 3x - 6 + 5
y = 3x - 1
Persamaan garis singgungnya untuk titik (-1,5) dengan m = -3
y – y1 = m(x – x1)
y - 5 = -3(x - (-1))
y - 5 = -3x - 3
y = -3x + 2
Jadi, ada dua persamaan garis singgung, yaitu y = 3x - 1 atau y = -3x + 2
Soal No.9
Carilah persamaan garis singgung pada kurva y = x2 - 5x + 6 jika gradien garis singgungnya adalah 3 ?
Pembahasan
Langkah 1: Cari titik singgungnya
f(x) = x2 - 5x + 6
f'(x) = 2x - 5
m = f'(x)
3 = 2x - 5
2x = 3 + 5
x = 4
y = x2 - 5x + 6
y = 42 - 5(4) + 6
y = 16 - 20 + 6
y = 2
Jadi titik singgung : (4,2)
Langkah 2: Menentukan persamaan garis singgung
y – y1 = m(x – x1)
y - 2 = 3(x - 4)
y - 2 = 3x - 12
y = 3x - 10
f(x) = x2 - 5x + 6
f'(x) = 2x - 5
m = f'(x)
3 = 2x - 5
2x = 3 + 5
x = 4
y = x2 - 5x + 6
y = 42 - 5(4) + 6
y = 16 - 20 + 6
y = 2
Jadi titik singgung : (4,2)
Langkah 2: Menentukan persamaan garis singgung
y – y1 = m(x – x1)
y - 2 = 3(x - 4)
y - 2 = 3x - 12
y = 3x - 10
Soal No.10
Tentukanlah persamaan garis singgung kurva y = x3- 3x2 - 5x + 10 jika gradien garis singgungnya adalah 4 ?
Pembahasan
Langkah 1: Cari titik singgungnya f(x) = x3 - 3x2 - 5x + 10
f'(x) = 3x2 - 6x - 5
m = f'(x)
4 = 3x2 - 6x - 5
3x2 - 6x - 9 = 0 (lalu kita bagi 3)
x2 - 2x - 3 = 0
(x - 3)(x + 2) = 0
x = 3 atau x = -2
Untuk x = 3
y = x3 - 3x2 - 5x + 10
y = 33 - 3(3)2 - 5(3) + 10
y = 27 -27 - 15 + 10
y = -5
Titik singgung pertama (3,-5)
Untuk x = -2
y = x3 - 3x2 - 5x + 10
y = (-2)3 - 3(-2)2 - 5(-2) + 10
y = -8 - 12 + 10 + 10
y = 0
Titik singgung kedua (-2,0)
Langkah 2: Menentukan persamaan garis singgung
Untuk titik singgung pertama (3,-5)
y – y1 = m(x – x1)
y – (-5) = 4(x – 3)
y + 5 = 4x -12
y = 4x -17
Untuk titik singgung kedua (-2,0)
y – y1 = m(x – x1)
y – 0 = 4(x – (-2))
y = 4x + 8
Jadi ada dua persamaan garis singgung yaitu :
y = 4x -17 dan y = 4x + 8
f'(x) = 3x2 - 6x - 5
m = f'(x)
4 = 3x2 - 6x - 5
3x2 - 6x - 9 = 0 (lalu kita bagi 3)
x2 - 2x - 3 = 0
(x - 3)(x + 2) = 0
x = 3 atau x = -2
Untuk x = 3
y = x3 - 3x2 - 5x + 10
y = 33 - 3(3)2 - 5(3) + 10
y = 27 -27 - 15 + 10
y = -5
Titik singgung pertama (3,-5)
Untuk x = -2
y = x3 - 3x2 - 5x + 10
y = (-2)3 - 3(-2)2 - 5(-2) + 10
y = -8 - 12 + 10 + 10
y = 0
Titik singgung kedua (-2,0)
Langkah 2: Menentukan persamaan garis singgung
Untuk titik singgung pertama (3,-5)
y – y1 = m(x – x1)
y – (-5) = 4(x – 3)
y + 5 = 4x -12
y = 4x -17
Untuk titik singgung kedua (-2,0)
y – y1 = m(x – x1)
y – 0 = 4(x – (-2))
y = 4x + 8
Jadi ada dua persamaan garis singgung yaitu :
y = 4x -17 dan y = 4x + 8
Soal No.11
Tentukanlah persamaan garis singgung kurva y = 3 - x2 yang tegak lurus terhadap garis 4y = x + 1 ?
Pembahasan
Soal No.12
Persamaan garis menyinggung kurva y = x2 - 3x - 4 di titik (4,0) adalah .....
a. y = 5x + 20
b. y = 5x - 20
c. y = -5x + 20
d. y = -5x - 20
Pembahasan
Soal No.13
Tentukan gradien garis dengan persamaan berikut :
1.) y = 2x - 8
2.) 4x - 2y + 6 = 0
3.) 3y = 6x - 1
4.) 7x - 14y + 2 = 0
Pembahasan
https://bfl-definisi.blogspot.com/2018/10/soal-persamaan-garis-singgung-kurva.html
Tentukanlah persamaan garis singgung kurva y = 3 - x2 yang tegak lurus terhadap garis 4y = x + 1 ?
Pembahasan
Langkah 1 : Cari nilai m1
y = 3 - x2
m1 = f'(x) = -2x
m1 = -2x
Langkah 2 : Cari nilai m2
4y = x + 1
y =
m2 =
Langkah 3 : Cari nilai x
Karena kedua garis tegak lurus maka berlaku :
m1 . m2 = -1
m1 .
m1 = -4
Masukkan nilai m1 ke dalam persamaan langkah-1 :
m1 = -2x
-4 = -2x
x = 2
Langkah 4 : Cari nilai y dengan memasukkan nilai x = 2
y = 3 - x2
y = 3 - 22
y = 3 - 4
y = -1
Jadi titik singgungnya : (2,-1)
Langkah 5 : Menentukan persamaan garis singgung
y - y1 = m(x - x1)
y - (-1) = -4(x - 2)
y + 1 = -4x + 8
y = -4x + 7
Jadi persamaan garis singgungnya : y = -4x + 7
y = 3 - x2
m1 = f'(x) = -2x
m1 = -2x
Langkah 2 : Cari nilai m2
4y = x + 1
y =
1 4
x + 1 4
m2 =
1 4
(Ingat !! Jika y = ax + b ⇒ m = a)Langkah 3 : Cari nilai x
Karena kedua garis tegak lurus maka berlaku :
m1 . m2 = -1
m1 .
1 4
= -1 m1 = -4
Masukkan nilai m1 ke dalam persamaan langkah-1 :
m1 = -2x
-4 = -2x
x = 2
Langkah 4 : Cari nilai y dengan memasukkan nilai x = 2
y = 3 - x2
y = 3 - 22
y = 3 - 4
y = -1
Jadi titik singgungnya : (2,-1)
Langkah 5 : Menentukan persamaan garis singgung
y - y1 = m(x - x1)
y - (-1) = -4(x - 2)
y + 1 = -4x + 8
y = -4x + 7
Jadi persamaan garis singgungnya : y = -4x + 7
Soal No.12
Persamaan garis menyinggung kurva y = x2 - 3x - 4 di titik (4,0) adalah .....
a. y = 5x + 20
b. y = 5x - 20
c. y = -5x + 20
d. y = -5x - 20
Pembahasan
y = x2 - 3x - 4
y' = 2x - 3
m = y '(4) = 2(4) - 3 = 5
m = 5
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah :
y – y1 = m(x – x1)
y - 0 = 5 (x - 4)
y = 5x - 20
Jawab c:
y' = 2x - 3
m = y '(4) = 2(4) - 3 = 5
m = 5
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah :
y – y1 = m(x – x1)
y - 0 = 5 (x - 4)
y = 5x - 20
Jawab c:
Soal No.13
Tentukan gradien garis dengan persamaan berikut :
1.) y = 2x - 8
2.) 4x - 2y + 6 = 0
3.) 3y = 6x - 1
4.) 7x - 14y + 2 = 0
Pembahasan
1.) Untuk Persamaan : y = 2x - 8
Jika persamaan y = ax + b ⇒ m = a
y = 2x - 8
m = 2
y = 2x - 8
m = 2
2.) Untuk Persamaan : 4x - 2y + 6 = 0
Jika persamaan ax + by = c ⇒ m = -a b
4x - 2y + 6 = 0
m = -4 -2
m = -(-2)
m = 2
4x - 2y + 6 = 0
m = -4 -2
m = -(-2)
m = 2
3.) Untuk Persamaan : 3y = 6x - 1
Jika persamaan ax + by = c ⇒ m = -a b
3y = 6x - 1
6x - 3y - 1 = 0
m = -6 -3
m = -(-2)
m = 2
3y = 6x - 1
6x - 3y - 1 = 0
m = -6 -3
m = -(-2)
m = 2
4.) Untuk Persamaan : 7x - 14y + 2 = 0
Jika persamaan ax + by = c ⇒ m = -a b
7x - 14y + 2 = 0
m = -7 -14
m = -1 -2
m =1 2
7x - 14y + 2 = 0
m = -7 -14
m = -1 -2
m =1 2
Contoh Soal menentukan persamaan garis singgung dan garis normal
Jawab :
x = 2 y = x4 - 7x2 + 20 
y = 24 - 7.22 + 20 = 16 - 28 + 20 = 8 titik singgung A(2,8)
Persamaan Garis singgung
m = y' = 4x3 - 14 x = 4.23 - 14.2 = 32 - 28 = 4 , gradien, m = 4 melalui A(2,8)
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah
y - y1 = m(x - x1)y - 8 = 4(x - 2)
y - 8 = 4x - 8
y = 4x Persamaan garis singgung
Persamaan garis singgungPersamaan garis normal
gradien garis singgung , m = 4, gradien garis normal 
Garis normal bergardien melalui A(2,8)
Jadi, persamaan garis Normalnya adalah
DAFTAR PUSTAKA
https://sumberbelajar.belajar.kemdikbud.go.id/sumberbelajar/tampil/Garis-Singgung-dan-Garis-Normal-2016/menu3.html
https://sumberbelajar.belajar.kemdikbud.go.id/sumberbelajar/tampil/Garis-Singgung-dan-Garis-Normal-2016/menu4.html
Tidak ada komentar:
Posting Komentar