Luas dan Volume Daerah yang Berkaitan dengan Integral Bersama Contoh Soalnya

 Nasywa Kayla Zahra (27) XI IPS 2 

Assalamualaikum Wr.Wb

LUAS DAERAH

Misalkan y = fx berharga positif pada daerah latexa≤x≤b dan kontinu pada daerah tersebut, maka luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = fx dengan sumbu x dari x = a ke x = b adalah

Bila y = fx berharga negatif pada daerah latexa≤x≤b maka luas daerah yang dibatasi oleh y = fx dengan semubu x dari x = a ke x = b adalah

Misalkan latexf(x)≥g(x)$latexf(x)\ge g(x)$ pada daerah latexa≤x≤b$latexa\le x\le b$ maka luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = fx$x$ dan y = gx$x$ adalah

Contoh 1 :

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = x2 + 2x dengan sumbu x

Jawab :

Contoh 2 :

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = x2 dengan garis y = x + 8

Jawab :

 

y = x2 ……… 1$1$

y = x + 6 ……… 2$2$

Dari 1$1$ dan 2$2$ didapat

x2 = x + 6

x2 – x – 6 = 0

x1 = 3 ; x2 = 2

Luas daerah,

latexL=∫(x+6−x2)dx=12x2+6x−13x3∣3−2$latexL=\int \left(x+6-x^2\right)dx=\frac{1}{2}{x}^2+6x-\frac{1}{3}{x}^3{\mid }_{-2}^3$

latex=(92+18−9)−(2−12+83)=2112$latex=(\frac{9}{2}+18-9)-(2-12+\frac{8}{3})=21\frac{1}{2}$

ISI BENDA PUTAR

Misalkan y = fx$x$ terdefinisi dan integrabel pada daerah latexa≤x≤b$latexa\le x\le b$ , bila daerah yang dibatasi oleh y = fx$x$ dan sumbu x dari x = a ke x = b diputar mengelilingi sumbu x, maka isi benda putar yang terjadi adalah :

Contoh 1:

Tentukan isi benda putar bila daerah yang dibatasi oleh grafik y = x2 dari x = 0 ke x =1 diputar mengeliling sumbu x

Jawab :

Isi benda putar yang terjadi

Contoh 2 :

Tentukan isi benda putar bila daerah yang dibatasi oleh grafik y = x2 dan garis y = x + 2 diputar mengeliling sumbu x

Jawab :

Batas integral

latexy=x2$latexy=x^2$

latexy=x+2$latexy=x+2$

Sehingga :

latexx2=x+2$latex{x}^2=x+2$

Daftar pustaka : https://ilmuhitung.com/aplikasi-integral-menentukan-luas-dan-volume-suatu-daerah/

Luas dan Volume Daerah yang Berkaitan dengan Integral Bersama Contoh Soalnya 

Integral bisa diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari. Salah satu contoh yang umum dikenal adalah luas daerah. Luas daerah yang dimaksud adalah luas daerah di bawah kurva. Adapun langkah menghitungnya adalah sebagai berikut.

• Batas daerah yang akan diintegralkan harus jelas. Adapun batas daerah yang dimaksud adalah batas kiri dan kanannya serta batas atas dan bawahnya. Bentuk batas daerah bisa berupa fungsi atau konstanta, fungsi linier dan nonlinier (kuadrat, pangkat 3, akar pangkat). Bagaimana jika salah satu batas belum diketahui? maka harus mencarinya terlebih dahulu, agar luasnya bisa dihitung.
• Harus mampu menggambar daerah di dalam kurva sesuai dengan batas-batas yang telah ditentukan (jika gambar masih dinyatakan dalam batas-batasnya saja). Oleh karena itu, diperlukan kemampuan untuk menggambar dengan baik.
• Setelah itu juga harus bisa menempatkan rumus yang tepat untuk menghitung luas daerah berdasarkan ketentuan yang telah ada. Jangan lupa untuk memperhatikan gambar daerah dan rumus yang bersesuaian. 

a) Bentuk daerah jenis 1

b) Bentuk daerah jenis 2

Volume Benda Putar

.

Contoh Soal

1. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva 

$y=x^2+4x+6$ dan garis $y=2-x$ adalah $\cdots$ satuan luas.
A. $\frac{27}{2}$                 C. $\frac{9}{2}$               E. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{9}{4}$                   D. $\frac{3}{2}$

Pembahasan :

Gambarkan sketsa grafik dari fungsi $y=x^2+4x+6$ dan $y=2-x$ pada bidang Kartesius.
Daerah yang diarsir merupakan daerah yang akan kita hitung luasnya. Daerah tersebut terbatas pada selang titik potong kedua kurva. Untuk itu, kita akan mencari koordinat titik potongnya dulu dengan cara menyamakan kedua fungsi.
$\begin{array}{cc}y& =y\\ x^2+4x+6& =2-x\\ x^2+5x+4& =0\\ (x+4)(x+1)& =0\end{array}$
Diperoleh $x=-4$ atau $x=-1$.
Untuk $x=-4$, diperoleh $y=6$.
Untuk $x=-1$, diperoleh $y=3$.
Jadi, koordinat titik potongnya adalah $(-4,6)$ dan $(-1,3)$.
Karena variabel integralnya menggunakan $x$, maka kita beri batas atas dan batas bawah integral berdasarkan absis titik potong, yaitu $x=-4$ sebagai batas bawah dan $x=-1$ sebagai batas atas.
Perhatikan bahwa kurva $y=2-x$ selalu berada di atas kurva $y=x^2+4x+6$ pada interval $-4<x<-1$ sehingga luas daerah yang diarsir dinyatakan oleh
$$\begin{array}{cc}L& ={\int }_{-4}^{-1}(y_{\text{atas}}-y_{\text{bawah}})\text{d}x\\ & ={\int }_{-4}^{-1}\left(\right(2-x)-(x^2+4x+6)\text{d}x\\ & ={\int }_{-4}^{-1}(-x^2-5x-4)\text{d}x\\ & ={[-\frac{1}{3}{x}^3-\frac{5}{2}{x}^2-4x]}_{-4}^{-1}\\ & =(-\frac{1}{3}(-1{)}^3-\frac{5}{2}(-1{)}^2-4(-1\left)\right)-(-\frac{1}{3}(-4{)}^3-\frac{5}{2}(-4{)}^2-4(-4\left)\right)\\ & =(\frac{1}{3}-\frac{5}{2}+4)-(\frac{64}{3}-40+16)\\ & =\frac{11}{6}+\frac{8}{3}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}\end{array}$$

2. Perhatikan gambar berikut.

Luas daerah yang diarsir adalah $\cdots$ satuan luas.
A. $\frac{7}{2}$                   C. $\frac{11}{2}$                E. $3$
B. $\frac{9}{2}$                   D. $\frac{9}{5}$

Pembahasan :

Daerah yang diarsir terbatas pada selang titik potong kedua kurva.
Untuk itu, kita akan mencari koordinat titik potongnya dulu dengan cara menyamakan kedua fungsi.
$\begin{array}{cc}y& =y\\ x^2& =2-x\\ x^2+x-2& =0\\ (x+2)(x-1)& =0\end{array}$
Diperoleh $x=-2$ atau $x=1$.
Untuk $x=-2$, diperoleh $y=4$.
Untuk $x=1$, diperoleh $y=1$.
Jadi, koordinat titik potongnya adalah $(-2,4)$ dan $(1,1)$.
Karena variabel integralnya menggunakan $x$, maka kita beri batas atas dan batas bawah integral berdasarkan absis titik potong, yaitu $x=-2$ sebagai batas bawah dan $x=1$ sebagai batas atas.
Perhatikan bahwa kurva $y=2-x$ selalu berada di atas kurva $y=x^2$ pada interval $-2<x<1$ sehingga luas daerah yang diarsir dinyatakan oleh
$$\begin{array}{cc}L& {\int }_{-2}^1(y_{\text{atas}}-y_{\text{bawah}})\text{d}x\\ & ={\int }_{-2}^1\left(\right(2-x)-(x^2\left)\right)\text{d}x\\ & ={\int }_{-2}^1(-x^2-x+2)\text{d}x\\ & ={[-\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2+2x]}_{-2}^1\\ & =(-\frac{1}{3}(1{)}^3-\frac{1}{2}(1{)}^2+2(1\left)\right)-(-\frac{1}{3}(-2{)}^3-\frac{1}{2}(-2{)}^2+2(-2\left)\right)\\ & =(-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+2)-(\frac{8}{3}-2-4)\\ & =\frac{7}{6}-(-\frac{10}{3})=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}\end{array}$$

3. Sebuah daerah yang dibatasi oleh kurva 

$y=x^2+a$, garis $y=-x+a$, dan garis $x=a$ mempunyai luas $\frac{1}{3}a$. Nilai dari $10a$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1$                     C. $10$                     E. $20$
B. $5$                     D. $15$

Pembahasan : 

Karena $L=\frac{1}{3}a$, maka kita simpulkan bahwa $a>0$.
Sketsa kurva $y=x^2+a$ yang merupakan pergeseran kurva $y=x^2$ ke atas sehingga titik puncaknya di $(0,a)$.
Sketsa kurva $y=-x+a\iff x+y=a$ yang merupakan garis lurus dengan perpotongan terhadap sumbu-$X$ di $(a,0)$ dan perpotongan terhadap sumbu-$Y$ di $(0,a)$.
Sketsa kurva $x=a$ berupa garis tegak.

Daerah yang diarsir dibatasi oleh ketiga kurva tersebut pada selang $(0,a)$.
Perhatikan bahwa pada selang itu, kurva $y=x^2+a$ selalu berada di atas kurva $y=-x+a$ sehingga luas daerah yang diarsir ditentukan oleh integral tentu berikut.
$\begin{array}{cc}L& ={\int }_0^a\left[\right(x^2+a)-(-x+a\left)\right]\text{d}x\\ & ={\int }_0^a(x^2+x)\text{d}x\\ & ={[\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2]}_0^a\\ & =(\frac{1}{3}{a}^3+\frac{1}{2}{a}^2)-0\\ & =\frac{a^3}{3}+\frac{a^2}{2}\end{array}$
Karena diketahui luasnya $\frac{1}{3}a$, maka diperoleh persamaan
$\begin{array}{cc}\frac{a^3}{3}+\frac{a^2}{2}& =\frac{1}{3}a\\ \text{Kalikan}6\text{di kedua}& \text{ruas}\\ 2a^3-3a^2& =2a\\ 2a^3+3a^2-2a& =0\\ a(2a^2+3a-2)& =0\\ a(2a+4)(2a-1)& =0\end{array}$
Diperoleh $a=0$ atau $a=-2$ atau $a=\frac{1}{2}$. Karena $a$ harus positif, maka dipilih $a=\frac{1}{2}$.
Dengan demikian, nilai $10a=10\cdot \frac{1}{2}=5$

4. Volume benda putar yang terbentuk jika daerah yang dibatasi oleh kurva 

$x-y^2+1=0$, $-1\le x\le 4$, dan sumbu-$X$, diputar mengelilingi sumbu-$X$ sejauh ${360}^{\circ }$ adalah $\cdots$ satuan volume.
A. $8\frac{1}{2}\pi$                    D. $12\frac{1}{2}\pi$
B. $9\frac{1}{2}\pi$                    E. $13\frac{1}{2}\pi$
C. $11\frac{1}{2}\pi$

Pembahasan : 

Kurva $x-y^2+1=0$ dapat ditulis menjadi $y^2=x+1$. Bila kita gambar kurvanya yang berupa parabola terbuka ke kanan, beserta garis tegak $x=-1$ dan $x=4$, kita akan memperoleh gambar seperti berikut.
Daerah yang diarsir merupakan daerah yang dibatasi oleh kurva tersebut dan sumbu-$X$ pada selang $[-1,4]$.
Bila diputar mengelilingi sumbu-$X$ sejauh ${360}^{\circ }$, maka kita peroleh
$$\begin{array}{cc}V& =\pi {\int }_{-1}^4{y}^2\text{d}x\\ & =\pi {\int }_{-1}^4(x+1)\text{d}x\\ & =\pi {[\frac{1}{2}{x}^2+x]}_{-1}^4\\ & =\pi [\left(\frac{1}{2}\right(4{)}^2+4)-\left(\frac{1}{2}\right(-1{)}^2+(-1))]\\ & =\pi \left[\right(8+4)-(\frac{1}{2}-1)]\\ & =\pi (12+\frac{1}{2})=12\frac{1}{2}\pi \end{array}$$Jadi, volume benda putar yang terbentuk adalah $12\frac{1}{2}\pi$ satuan volume.
(Jawaban D)

5. Volume benda dari daerah yang dibatasi oleh kurva 

$y=x^2$ dan garis $y=2x$ setelah diputar ${360}^{\circ }$ mengelilingi sumbu-$Y$ adalah $\cdots$ satuan volume.
A. $16\pi$                       D. $2\frac{2}{3}\pi$
B. $8\pi$                         E. $2\frac{1}{3}\pi$
C. $3\frac{2}{3}\pi$

Pembahasan : 

Gambarkan sketsa kurvanya terlebih dahulu seperti berikut.
Daerah yang diarsir merupakan daerah yang akan diputar terhadap sumbu-$Y$.
Daerah tersebut terbatas pada absis titik potong kedua kurva dan dapat ditentukan dengan menyamakan kedua fungsinya.
$\begin{array}{cc}y& =y\\ x^2& =2x\\ x^2-2x& =0\\ x(x-2)& =0\end{array}$
Diperoleh $x=0$ atau $x=2$.
Jadi, daerah arsir berada pada selang $[0,2]$.
[diputar terhadap sumbu-$Y$]
$y=x^2\iff x^2=y$
$y=2x\iff x=\frac{y}{2}\iff x^2=\frac{y^2}{4}$
Perhatikan bahwa pada selang tersebut, kurva $y=x^2$ selalu berada di atas kurva $y=2x$ (cara melihatnya: semakin ke kanan, artinya semakin ke atas) sehingga volume benda putar yang terbentuk dinyatakan sebagai berikut.
$\begin{array}{cc}V& =\pi {\int }_0^4(x_1^2-x_2^2)\text{d}y\\ & =\pi {\int }_0^4(y-\frac{y^2}{4})\text{d}y\\ & =\pi {[\frac{1}{2}{y}^2-\frac{1}{12}{y}^3]}_0^4\\ & =\pi \left[\frac{1}{2}\right(4^2-0^2)-\frac{1}{12}(4^3-0^3\left)\right]\\ & =\pi [8-5\frac{1}{3}]=2\frac{2}{3}\end{array}$
Jadi, volume benda putar yang terbentuk sebesar $2\frac{2}{3}$ satuan volume.
(Jawaban D)

Daftar Pustaka 

https://mathcyber1997.com/luas-daerah-integral/

https://mathcyber1997.com/soal-dan-pembahasan-volume-benda-putar-menggunakan-integral/

https://ahmadthohir1089.wordpress.com/2015/08/30/insyaallah-25/

https://www.quipper.com/id/blog/mapel/matematika/integral/