NILAI STASIONER, FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN

 Nasywa Kayla Zahra

XI IPS 2

27

Nilai Stasioner

1. Pengertian Nilai Stasioner Fungsi

Gambar 1. merupakan grafik fungsi f(x) = – (x – 1)² + 4. Turunan pertama dari fungsi f(x) = – (x – 1)² + 4 adalah f '(x) = –2(x – 1). Untuk x = 1, diperoleh f '(1) = –2(1 – 1) = 0. Oleh karena nilai f '(1) = 0 maka fungsi f(x) = –(x – 1)² + 4 mencapai nilai stasioner di x = 1 dengan nilai stasioner f(1) = – (1 – 1)² + 4 = 4. Selanjutnya, titik (1, 4) disebut titik stasioner.

Gambar 1. grafik fungsi f(x) = – (x – 1)² + 4.

Dari contoh di atas dapatkah Anda menduga pengertian nilai stasioner fungsi? Cobalah nyatakan dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep nilai stasioner fungsi yang telah Anda pelajari tersebut merupakan hal khusus dari hal umum berikut.

Amati f "(x) > 0 untuk x < 0, dikatakan f cekung ke atas pada x < 0, f "(x) < 0 untuk 0 < x < 2, dikatakan f cekung ke bawah pada 0 < x < 2, dan f "(x) > 0 pada x > 2, dikatakan f cekung ke atas pada x > 2.

Di sekitar x = 0 (titik (0, 0)) terjadi perubahan kecekungan dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah sehingga titik (0, 0) merupakan titik belok grafik fungsi f. Apakah titik (2, 0) merupakan titik belok? Bagaimana dengan titik (3, 0)? Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan pengertian nilai stasioner fungsi? Cobalah nyatakan pengertian nilai stasioner fungsi dengan kata-kata Anda sendiri.

Definisi 1 :

Diketahui fungsi y = f(x) kontinu dan dapat diturunkan (diferentiable) di x = c. Fungsi y = f(x) memiliki nilai stasioner f(c) jika f '(c) = 0 dan titik (c, f(c)) disebut titik stasioner.

Contoh Soal 1 :

a. Tentukan nilai stasioner fungsi f(x) = 3x² – 6x + 5.

b. Tentukan nilai stasioner dan jenisnya untuk fungsi f(x) = x³ + 4x² – 3x + 2.

Pembahasan :

a. f(x) = 3x² – 6x + 5 → f '(x) =6x – 6

Nilai stasioner diperoleh jika f '(x) = 0 sehingga :

f '(x) = 0

6x – 6 = 0

x = 1.

f(1) = 3.1² – 6. 1 + 5 = 2

Jadi, nilai stasioner f(x) = 3x² – 6x + 5 adalah f(1) = 2

b. f(x) = x³ + 4x² – 3x + 2

f '(x) = 3x² + 8x – 3

untuk f '(x) = 0

3x² + 8x – 3 = 0

(3x – 1) (x + 3) = 0

x = 1/3 atau x = –3

↔ f ' (1/3) = 0 dan f '(–3) = 0

sehingga untuk x = 1/3 diperoleh :

untuk x = –3 diperoleh f(–3) = (–3)³ + 4 (3)² – 3.3 + 2 = 2

Jadi, nilai stasioner f(x) = x³ + 4x² – 3x + 2  adalah f (1/3) = 

dan f(–3) = 2.

Titik  dan (–3, 2) dinamakan titik stasioner.

Untuk menentukan jenis stasioner, pelajari interval f '(x) di bawah.

Untuk mengetahui nilai f '(x) pada selang x < –3, –3 < x < 1/3, dan x > 1/3, substitusikan nilai x untuk selang interval tersebut pada f '(x) sehingga diperoleh

• untuk x = –4, f '(–4) = 13 > 0 sehingga f(x) naik untuk x < –3;

• untuk x = 0, f '(0) = –3 < 0 sehingga f(x) turun untuk interval –3 < x < 1/3;

• untuk x = 1, f '(1) = 8 > 0 sehingga f(x) naik untuk x > 1/3.

Jadi, nilai f '(x) dapat digambarkan pada selang interval di atas.

Dari gambar untuk selang interval tersebut :

• titik (–3, 2) adalah titik maksimum,

• titik  adalah titik minimum.

2. Menentukan Nilai Stasioner Suatu Fungsi

Anda telah mempelajari cara menentukan nilai stasioner dengan uji tanda turunan pertama. Misalkan, fungsi f(x) = x³ – 3x² dengan f '(x) = 3x² – 6x. Untuk f '(x) = 0 diperoleh titik-titik stasioner (0, 0) dan (2, –4), dengan (0, 0) dinamakan titik balik maksimum lokal, sedangkan (2, –4) dinamakan titik balik minimum lokal. Sekarang, pelajarilah cara menentukan nilai stasioner suatu fungsi dan penerapannya menggunakan turunan kedua.

Dengan menggunakan turunan kedua jenis titik stasioner dapat ditentukan sebagai berikut.

• Jika f "(c) < 0, f(c) adalah nilai maksimum lokal fungsi f(x) dan titik (c, f(c)) adalah titik balik maksimum lokal grafik fungsi f(x).

• Jika f "(c) > 0, f(c) adalah nilai minimum lokal fungsi f(x) dan titik (c, f(c)) adalah titik balik minimum lokal grafik fungsi f(x).

• Jika f "(c) = 0 atau tidak mempunyai turunan kedua, jenis nilai stasioner dilakukan dengan menggunakan uji turunan pertama.

Contoh Soal 2 :

Tentukan jenis nilai stasioner fungsi f(x) = x³ – 6x² + 9x + 1 dan f(x) = x⁴ – 4x³ dengan menggunakan uji turunan kedua.

Penyelesaian :

• Untuk fungsi f(x) = x³ – 6x² + 9x + 1

f '(x) = 3x² – 12x + 9 = 3(x – 1) (x – 3)

f "(x) = 6x – 12

Nilai stasioner diperoleh untuk f '(x) = 0, yaitu :

3(x – 1) (x – 3) = 0

x = 1 atau x = 3

Nilai stasionernya adalah x = 1 atau x = 3 untuk x = 1, f "(1) = –6 < 0, sedangkan untuk x = 3, f "(3) = 6 > 0 sehingga :

f(1) adalah nilai maksimum lokal fungsi f(x), yaitu f(1) = 5

f(3) adalah nilai minimum lokal fungsi f(x), yaitu f(3) = 1

• Untuk fungsi f(x) = f(x) = x⁴ – 4x³

f '(x) = 4x³ – 12x² = 4x² (x – 3)

f "(x) = 12x² – 24x

Nilai stasioner diperoleh untuk f '(x) = 0, yaitu x = 0 atau x = 3 untuk x = 0, f "(0) = 0 dan untuk x = 3, f "(3) = 36 > 0 sehingga :

f(3) adalah nilai minimum lokal fungsi f(x), yaitu f(3) = –27.

Untuk x = 0 dengan f "(0) = 0 jenis nilai stasioner ditentukan dengan uji turunan pertama.

Sekarang, amati diagram di bawah ini.

Amati f "(x) > 0 untuk x < 0, dikatakan f cekung ke atas pada x < 0, f "(x) < 0 untuk 0 < x < 2, dikatakan f cekung ke bawah pada 0 < x < 2, dan f "(x) > 0 pada x > 2, dikatakan f cekung ke atas pada x > 2.

Di sekitar x = 0 (titik (0, 0)) terjadi perubahan kecekungan dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah sehingga titik (0, 0) merupakan titik belok grafik fungsi f. Apakah titik (2, 0) merupakan titik belok? Bagaimana dengan titik (3, 0)?

Dari contoh tersebut dapatkah Anda menduga cara menentukan nilai stasioner suatu fungsi? Cobalah nyatakan dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep yang telah Anda pelajari tersebut membawa kita pada definisi berikut.

Definisi 2 :

f cekung ke atas pada [a, b] jika f "(x) > 0 dan f cekung ke bawah jika f "(x) < 0. Perubahan kecekungan disebut titik belok.

Anda sekarang sudah mengetahui Nilai Stasioner Fungsi. Terima kasih anda sudah berkunjung ke Perpustakaan Cyber.

Referensi :

Djumanta, W. 2008. Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika 2 : untuk Kelas XI Sekolah Menengah Atas / Madrasah Aliyah. Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, Jakarta. p. 250.

Fungsi Naik dan Turun

Pertama, kita definisikan suatu fungsi dapat dikatakan sebagai fungsi naik atau fungsi turun. Perhatikan definisi berikut.

---

Definisi Fungsi Naik dan Turun

Suatu fungsi f dikatakan naik pada suatu selang jika untuk sembarang dua bilangan x1 dan x2 dalam selang tersebut, x1 < x2 mengakibatkan f(x1) < f(x2).

Suatu fungsi f dikatakan turun pada suatu selang jika untuk sembarang dua bilangan x1 dan x2 dalam selang tersebut, x1 < x2 mengakibatkan f(x1) > f(x2).

Suatu fungsi dikatakan naik jika x bergerak ke kanan, grafik fungsi tersebut bergerak ke atas, dan turun jika grafik fungsi tersebut bergerak ke bawah. Sebagai contoh, fungsi di samping naik pada selang (–∞, a), konstan pada selang (a, b), dan turun pada selang (b, ∞). Seperti yang ditunjukkan Teorema Uji Fungsi Naik dan Turun di bawah ini, turunan positif akan mengakibatkan suatu fungsi akan naik, turunan negatif akan mengakibatkan fungsi tersebut turun, dan turunan nol pada seluruh selang akan mengakibatkan fungsi tersebut konstan pada selang tersebut.

Teorema Uji Fungsi Naik dan Turun

Misalkan f adalah fungsi yang kontinu pada selang tutup [a, b] dan terdiferensialkan pada selang buka (a, b).

1. Jika f ’(x) > 0 untuk semua x dalam (a, b), maka f naik pada [a, b].
2. Jika f ’(x) < 0 untuk semua x dalam (a, b), maka f turun pada [a, b].
3. Jika f ’(x) = 0 untuk semua x dalam (a, b), maka f konstan pada [a, b].

---

Pembuktian

Kasus 1: Untuk membuktikan kasus pertama, anggap bahwa f ’(x) > 0 untuk semua x dalam selang (a, b) dan misalkan x1 < x2 adalah sembarang dua titik dalam selang tersebut. Berdasarkan Teorema Nilai Rata-Rata, kita tahu bahwa ada suatu bilangan c sedemikian sehingga x1 < c < x2, dan

Karena f ’(c) > 0 dan x2 – x1 > 0, maka f(x2) – f(x1) > 0, yang mengakibatkan bahwa f(x1) < f(x2). Jadi, f naik pada selang tersebut.

Kasus 2: Untuk kasus ini, kita dapat membuktikannya dengan menggunakan alur yang serupa dengan kasus 1.

Kasus 3: Misalkan f ’(x) = 0 untuk semua x dalam selang (a, b) dan misalkan x1 < x2 adalah sembarang duat titik dalam selang tersebut. Berdasarkan Teorema Nilai Rata-Rata, kita tahu bahwa ada suatu bilangan c sedemikian sehingga x1 < c < x2, dan

Karena f ’(c) = 0 maka f(x1) – f(x2) = 0, yang berakibat f(x1) = f(x2). Jadi, fungsi tersebut tidak naik ataupun tidak turun. Dengan kata lain, fungsi tersebut konstan pada selang tersebut.

Soal Nomor 1
Interval $x$ yang membuat kurva fungsi $f\left(x\right)=x^3-6x^2+9x+2$ selalu turun adalah $\cdots \cdot$
A. $-1<x<3$
B. $0<x<3$
C. $1<x<3$
D. $x<1$ atau $x>3$
E. $x<0$ atau $x>3$

Pembahasan

Diketahui $f\left(x\right)=x^3-6x^2+9x+2$

sehingga turunan pertamanya adalah $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-12x+9$.
Kurva $f\left(x\right)$ selalu turun jika diberi syarat $f^{\prime }\left(x\right)<0$.
$\begin{array}{cc}3x^2-12x+9& <0\\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}3\\ x^2-4x+3& <0\\ (x-3)(x-1)& <0\\ \therefore 1<x& <3\end{array}$
Jadi, interval $x$ yang membuat kurva fungsi $f\left(x\right)$ selalu turun adalah $1<x<3$
(Jawaban C)

Soal Nomor 2

Diberikan fungsi $g\left(x\right)=2x^3-9x^2+12x$. Interval $x$ yang memenuhi kurva fungsi $g\left(x\right)$ selalu naik adalah $\cdots \cdot$
A. $x<-2$ atau $x>-1$
B. $x<-1$ atau $x>2$
C. $x<1$ atau $x>2$
D. $1<x<2$
E. $-1<x<2$

Pembahasan

Diketahui $g\left(x\right)=2x^3-9x^2+12x$

, sehingga turunan pertamanya adalah $g^{\prime }\left(x\right)=6x^2-18x+12$.
Kurva $g\left(x\right)$ selalu naik jika diberi syarat $g^{\prime }\left(x\right)>0$.
$\begin{array}{cc}6x^2-18x+12& >0\\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}6\\ x^2-3x+2& >0\\ (x-2)(x-1)& >0\\ \therefore x<1\text{atau}x& >2\end{array}$ 

Jadi, interval $x$ yang membuat kurva fungsi $g\left(x\right)$ selalu naik adalah $x<1\text{atau}x>2$

(Jawaban C)

Soal Nomor 3
Grafik fungsi $p\left(x\right)=x(6-x{)}^2$

tidak pernah turun dalam interval $\cdots \cdot$
A. $x\le -2$ atau $x\ge 6$
B. $x\le 2$ atau $x\ge 6$
C. $x<2$ atau $x\ge 6$
D. $x\le 2$ atau $x>6$
E. $x<2$ atau $x>6$

Pembahasan

Diketahui $p\left(x\right)=x(6-x{)}^2$

. Turunan pertama $p\left(x\right)$ dapat dicari secara manual dengan menjabarkan seperti berikut (pangkatnya masih kecil, sehingga masih sangat memungkinkan untuk dijabarkan).
$\begin{array}{cc}p\left(x\right)& =x(6-x{)}^2\\ =x(36-12x+x^2)\\ =36x-12x^2+x^3\\ p^{\prime }\left(x\right)& =36-24x+3x^2\end{array}$ 

Grafik fungsi $p\left(x\right)$ tidak pernah turun jika diberi syarat $p^{\prime }\left(x\right)\ge 0$.
$\begin{array}{cc}36-24x+3x^2& \ge 0\\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}3\\ x^2-8x+12& \ge 0\\ (x-2)(x-6)& \ge 0\\ \therefore x\le 2\text{atau}x& \ge 6\end{array}$ 

Jadi, interval $x$ yang membuat grafik fungsi $p\left(x\right)$ tidak pernah turun adalah $x\le 2\text{atau}x\ge 6$

(Jawaban B)

Soal Nomor 4
Grafik fungsi $\pi \left(x\right)=x^3+3x^2+5$

tidak pernah naik untuk nilai-nilai $\cdots \cdot$
A. $-2\le x\le 0$
B. $-2\le x<0$
C. $-2<x\le 0$
D. $x\le -2$ atau $x\ge 0$
E. $-2<x<0$Pembahasan

Diketahui $\pi \left(x\right)=x^3+3x^2+5$

sehingga turunan pertamanya adalah ${\pi }^{\prime }\left(x\right)=3x^2+6x$.
Grafik fungsi $\pi \left(x\right)$ tidak pernah naik jika diberi syarat ${\pi }^{\prime }\left(x\right)\le 0$.

$\begin{array}{cc}3x^2+6x& \le 0\\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}3\\ x^2+2x& \le 0\\ x(x+2)& \le 0\\ \therefore -2\le x& \le 0\end{array}$ 

Jadi, interval $x$ yang membuat grafik fungsi $\pi \left(x\right)$ tidak pernah turun adalah $-2\le x\le 0$
(Jawaban A)

 Soal Nomor 5
Diberikan fungsi $R\left(x\right)=x^3-3x^2+3x-2$. Nilai-nilai $x$ dari fungsi tersebut mengakibatkan kurva fungsi $R\left(x\right)$ $\cdots \cdot$

A. tidak pernah naik
B. tidak pernah turun
C. bisa naik, bisa turun
D. selalu turun
E. selalu naik

Pembahasan

Diketahui $R\left(x\right)=x^3-3x^2+3x-2$

Turunan pertamanya adalah $R^{\prime }\left(x\right)=3x^2-6x+3$. Selanjutnya, kita akan mencari titik stasioner fungsi tersebut, yakni saat $R^{\prime }\left(x\right)=0$.
$\begin{array}{cc}3x^2-6x+3& =0\\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}3\\ x^2-2x+1& =0\\ (x-1{)}^2& =0\end{array}$ 

Perhatikan bahwa pada ekspresi $(x-1{)}^2$, kita mendapati bahwa nilai darinya tidak mungkin bertanda

 

negatif (ingat bahwa semua bilangan real yang dikuadratkan tidak akan bertanda negatif), sehingga grafik fungsi $R\left(x\right)$

tidak pernah turun, melainkan stasioner (tetap) atau naik, seperti yang tampak pada sketsa gambar berikut.

(Jawaban B)

Soal Nomor 6
Nilai-nilai $x$dari fungsi $y=\frac{x^2+3}{x-1}$ yang mengakibatkan kurva fungsi itu selalu turun adalah $\cdots \cdot$

A. $x<-1$ atau $x>3$
B. $-1<x<3$
C. $x<1$ atau $x>3$
D. $-1<x<1$ atau $1<x<3$
E. $-1<x<1$ atau $x>3$

Pembahasan

Diketahui $y=\frac{x^2+3}{x-1}$

Turunan pertamanya dapat ditentukan dengan menggunakan aturan hasil bagi.
Misalkan $u=x^2+3\Rightarrow u^{\prime }=2x$ dan $v=x-1\Rightarrow v^{\prime }=1$, sehingga
$\begin{array}{cc}{y}^{\prime }& =\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}\\ =\frac{2x(x-1)-(x^2+3)\left(1\right)}{(x-1{)}^2}\\ =\frac{2x^2-2x-x^2-3}{}\end{array}$

$\begin{array}{c}\frac{(x-1{)}^2}{}\\ =\frac{x^2-2x-3}{(x-1{)}^2}\\ =\frac{(x-3)(x+1)}{(x-1{)}^2}\end{array}$
Grafik fungsi tersebut selalu turun jika diberi syarat $y^{\prime }<0$, yaitu
$\frac{(x-3)(x+1)}{(x-1{)}^2}<0$.
Dari pertidaksamaan di atas, diketahui bahwa penyebut dipastikan bernilai positif untuk $x\ne 1$, sehingga yang memengaruhi tanda hanya pembilangnya saja.
Agar keseluruhan bernilai negatif, pembilangnya harus dibuat negatif.
$\begin{array}{cc}(x-3)(x+1)& <0\\ \therefore -1<x& <3\end{array}$
Karena $x\ne 1$ (berakibat penyebut bernilai $0$), maka kita peroleh bahwa interval $x$ yang memenuhi adalah seluruh bilangan di antara $-1$ dan $3$, kecuali $1$, kita tulis
$-1<x<1\text{atau}1<x<3$

(Jawaban D)

Soal Nomor 8
Grafik fungsi $f\left(x\right)=a{x}^3+x^2+5$

akan selalu naik dalam interval $0<x<2$. Nilai $a$ adalah $\cdots \cdot$
A. $-3$                     C. $\frac{1}{3}$                 E. $3$
B. $-\frac{1}{3}$                    D. $1$

Pembahasan

Diketahui $f\left(x\right)=a{x}^3+x^2+5$

dan $f\left(x\right)$ selalu naik di $0<x<2$, mengimplikasikan bahwa
$\begin{array}{cc}(x-0)(x-2)& <0\\ x(x-2)& <0\\ x^2-2x& <0& (\cdots 1)\end{array}$
Turunan pertama $f\left(x\right)$ adalah $f^{\prime }\left(x\right)=3a{x}^2+2x$.
Grafik fungsi $f\left(x\right)$ selalu naik jika diberi syarat $f^{\prime }\left(x\right)>0$.
$\begin{array}{cc}3a{x}^2+2x& >0\\ \text{Kedua ruas dikali}& \text{dengan}-1\\ -3a{x}^2-2x& <0& (\cdots 2)\end{array}$
Kaitkan pertidaksamaan $\left(1\right)$ dan $\left(2\right)$.
$\{\begin{array}{cc}{x}^2-2x& <0\\ -3a{x}^2-2x& <0\end{array}$
Diperoleh $-3a=1\Rightarrow a=-\frac{1}{3}$
Jadi, Nilai $a$ yang membuat $f\left(x\right)$ selalu naik pada interval tersebut adalah $-\frac{1}{3}$

(Jawaban B)

Soal Nomor 9
Grafik fungsi $T\left(x\right)=2x^3+3a{x}^2-4bx+5$ akan selalu turun dalam interval $-4<x<1$. Nilai $\frac{b}{a}$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1$                    C. $3$                    E. $9$
B. $2$                    D. $6$Pembahasan

Diketahui $T\left(x\right)=2x^3+3a{x}^2-4bx+5$ dan $T\left(x\right)$ selalu turun di $-4<x<1$, mengimplikasikan bahwa
$\begin{array}{cc}(x+4)(x-1)& <0\\ x^2-x+4x-4& <0\\ x^2+3x-4& <0& (\cdots 1)\end{array}$
Turunan pertama $T\left(x\right)$ adalah $T^{\prime }\left(x\right)=6x^2+6ax-4b$.
Grafik fungsi $T\left(x\right)$ selalu turun jika diberi syarat $T^{\prime }\left(x\right)<0$.
$\begin{array}{cc}6x^2+6ax-4b& <0\\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}6\\ x^2+ax-\frac{2}{3}b& <0& (\cdots 2)\end{array}$
Kaitkan pertidaksamaan $\left(1\right)$ dan $\left(2\right)$.
$\{\begin{array}{cc}{x}^2+3x-4& <0\\ x^2+ax-\frac{2}{3}b& <0\end{array}$
Diperoleh:
$\begin{array}{cc}a& =3\left(✓\right)\\ \bullet -\frac{2}{3}b& =-4\Rightarrow b=6\left(✓\right)\end{array}$
Jadi, nilai $\frac{b}{a}=\frac{6}{3}=2$
(Jawaban B)

Soal Nomor 10
Grafik fungsi $f\left(x\right)=x^3+a{x}^2+bx+c$

hanya turun pada interval $-1<x<5$. Nilai $a+b=\cdots \cdot$
A. $-21$                  C. $-9$                   E. $21$
B. $-15$                  D. $9$

Pembahasan 

Diketahui $f\left(x\right)=x^3+a{x}^2+bx+c$

dan $f\left(x\right)$ selalu turun di $-1<x<5$, mengimplikasikan bahwa
$\begin{array}{cc}(x+1)(x-5)& <0\\ x^2-5x+x-5& <0\\ x^2-4x-5& <0& (\cdots 1)\end{array}$
Turunan pertama $f\left(x\right)$ adalah $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2+2ax+b$.
Grafik fungsi $f\left(x\right)$ selalu turun jika diberi syarat $f^{\prime }\left(x\right)<0$.
$\begin{array}{cc}3x^2+2ax+b& <0\\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}3\\ x^2+\frac{2}{3}ax+\frac{1}{3}b& <0& (\cdots 2)\end{array}$

Kaitkan pertidaksamaan $\left(1\right)$ dan $\left(2\right)$.
$\{\begin{array}{cc}{x}^2-4x-5& <0\\ x^2+\frac{2}{3}ax+\frac{1}{3}b& <0\end{array}$
Diperoleh:
$\begin{array}{cc}\bullet \frac{2}{3}a& =-4\Rightarrow a=-6\\ \bullet \frac{1}{3}b& =-5\Rightarrow b=-15\end{array}$

Jadi, nilai $a+b=-6+(-15)=-21$

(Jawaban A)

Soal Nomor 11
Grafik fungsi $L\left(x\right)=a{x}^3+9b{x}^2-24x+5$

akan selalu naik dalam interval $x<-4$ atau $x>1$. Nilai $a+b$ adalah $\cdots \cdot$
A. $1$                    C. $3$                    E. $9$
B. $2$                    D. $6$

Pembahasan

Diketahui $L\left(x\right)=a{x}^3+9b{x}^2-24x+5$

dan $L\left(x\right)$ selalu naik di $x<-4$ atau $x>1$, mengimplikasikan bahwa
$\begin{array}{cc}(x+4)(x-1)& >0\\ x^2-x+4x-4& >0\\ x^2+3x-4& >0& (\cdots 1)\end{array}$
Turunan pertama $L\left(x\right)$ adalah $L^{\prime }\left(x\right)=3a{x}^2+18bx-24$.
Grafik fungsi $L\left(x\right)$ selalu naik jika diberi syarat $L^{\prime }\left(x\right)>0$.
$\begin{array}{cc}3a{x}^2+18bx-24& >0\\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}6\\ \frac{a}{2}{x}^2+3bx-4& >0& (\cdots 2)\end{array}$

Catatan: Mengapa harus dibagi 6? Karena kita harus membuat konstantanya menjadi $-4$ sesuai dengan pertidaksamaan $\left(1\right)$.
Berikutnya, kaitkan pertidaksamaan $\left(1\right)$ dan $\left(2\right)$.
$\{\begin{array}{cc}{x}^2+3x-4& >0\\ \frac{a}{2}{x}^2+3bx-4& >0\end{array}$
Diperoleh:
$\begin{array}{cc}\bullet \frac{a}{2}& =1\Rightarrow a=2\\ \bullet 3b& =3\Rightarrow b=1\end{array}$

Jadi, nilai $a+b=2+1=3$

(Jawaban C)

Soal Nomor 12
Fungsi $f\left(x\right)={\sin }^{2}x$

dengan $0<x<2\pi$ naik pada interval $\cdots \cdot$
A. $\frac{\pi }{2}<x<\pi$ atau $\frac{3\pi }{2}<x<2\pi$
B. $\frac{2\pi }{3}<x<\pi$
C. $0<x<\frac{\pi }{2}$ atau $\pi <x<\frac{3\pi }{2}$
D. $0<x<\pi$ atau $\pi <x<2\pi$
E. $0<x<2\pi$

Pembahasan

Diketahui $f\left(x\right)={\sin }^{2}x$

Turunan pertamanya adalah $f^{\prime }\left(x\right)=2\sin x\cos x=\sin 2x$. Grafik fungsi $f$ akan naik ketika diberi syarat $f^{\prime }\left(x\right)>0$, yaitu $\sin 2x>0$.
Pembuat nol adalah $\{0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2},2\pi \}$.
Buat garis bilangan dan tentukan tanda kepositivan dengan uji titik.

Ini berarti, $\sin 2x>0$ terpenuhi ketika $0<x<\frac{\pi }{2}$ atau $\pi <x<\frac{3\pi }{2}$. Jadi, $f\left(x\right)={\sin }^{2}x$ akan naik pada interval $0<x<\frac{\pi }{2}$ atau $\pi <x<\frac{3\pi }{2}$

, seperti yang dipertegas pada sketsa grafik berikut.
(Jawaban C)

 

DAFTAR PUSTAKA

https://yos3prens.wordpress.com/2015/03/24/penerapan-turunan-fungsi-naik-dan-turun-serta-uji-turunan-pertama/#:~:text=Definisi%20Fungsi%20Naik%20dan%20Turun&text=Suatu%20fungsi%20dikatakan%20naik%20jika,selang%20(b%2C%20%E2%88%9E).

https://www.nafiun.com/2014/06/pengertian-nilai-stasioner-fungsi-contoh-soal-rumus-cara-menetukan-dan-menghitung-pembahasan-matematika.html

Persamaan Garis Singgung Kurva dan Persamaan Garis Normal di suatu Titik pada Kurva

Nasywa Kayla Zahra 

XI IPS 2

27

Assalamualaikum Wr.Wb

 Persamaan Garis Singgung Kurva dan Persamaan Garis Normal di suatu Titik pada Kurva

---

Garis Singgung 

Sebuah garis disebut sebagai garis singgung kurva jika garis tersebut hanya memiliki satu titik persekutuan (titik singgung) dengan kurva. Karena garis singgung hanya memiliki satu titik persekutuan dengan kurva, maka untuk mendapatkan nilai kemiringannya dapat kita dekati dengan garis lain (garis secan) yang gradiennya dapat ditentukan secara langsung. 

 

Garis Normal

 

Garis normal merupakan garis yang melalui titik singgung dan tegak lurus dengan garis singgung. 

Garis Singgung & Garis Normal 

Garis singgung bergradien m, jika titik yang dilaluinya adalah titik singgung A(x1,y1) maka persamaan garis singgungnya adalah 

Persamaan garis normal bergradien dan melalui A(x1,y1)

Persamaan Garis Singgung Kurva

Persamaan garis singgung kurva y = f(x) yang disinggung oleh sebuah garis di titik (x1,y1), maka gradien garis singgung tersebut adalah m = f'(x1). Sementara itu x1 dan y1 memiliki hubungan y1 = f(x1). Sehingga persamaan garis singgungnya bisa dinyatakan dengan y – y1 = m(x – x1).  

Contoh Soal Persamaan Garis Singgung Kurva 

Soal No.1

---

Carilah gradien garis singgung kurva f(x) = 5x2 – 8x + 4 di titik(2, 8) ?

Pembahasan

Titik singgung dititik (2, 8), maka x1 = 2 
Dengan demikian, gradien garis adalah : m = f’(x1) 
m = 10x1 – 8 
m = 10(2) – 8 
m = 12 

Soal No.2

---

Tentukanlah persamaan garis singgung untuk kurva y = x2 + 2x di titik (1,3) 

Pembahasan

f(x) = x2 + 2x 
f'(x) = 2x + 2 
m = f '(1) = 2(1) + 2 = 4 
m = 4 

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah :
y – y1 = m(x – x1)
y − 3 = 4(x − 1) 
y − 3 = 4x − 4 
y = 4x − 1 

Soal No.3

---

Tentukanlah Persamaan garis singgung kurva y = 2x - 3x2 di titik dengan absis 2 

Pembahasan

Absis itu adalah sumbu-x, jadi x =2: 
Langkah 1 : Cari titik singgung dengan memasukkan nilai x = 2 
y = 2x - 3x2  
y = 2(2) − 3(2)2 
y = −8 
Jadi titik singgung : (2, −8)

Langkah 2: Cari nilai gradien
f(x) = 2x − 3x2  
f '(x) = 2 − 6x 
m = f '(2) = 2 − 6(2) = −10 
m = −10 

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah : 
y – y1 = m(x – x1)
y − (−8) = −10(x − 2) 
y + 8 = −10x + 20 
y = −10x + 12 

Soal No.4

---

Tentukanlah Persamaan garis singgung kurva y = 2x3 - 4x2 di titik berabsis 2 

Pembahasan

Absis itu adalah sumbu-x, jadi x =2: 
Langkah 1 : Cari titik singgung dengan memasukkan nilai x = 2 
y = 2x3 - 4x2  
y = 2(2)3 − 4(2)2 
y = 16 - 16 
y = 0 
Jadi titik singgung : (2, 0)

Langkah 2: Cari nilai gradien
f(x) = 2x3 - 4x2  
f '(x) = 6x2 - 8x 
m = f '(2) = 6(2)2 − 8(2) 
m = 24 - 16 
m = 8 

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah : 
y – y1 = m(x – x1)
y − 0 = 8(x − 2) 
y = 8x - 16 

Soal No.5

---

Tentukanlah Persamaan garis singgung kurva y = x2 di titik berabsis -2 

Pembahasan

Absis itu adalah sumbu-x, jadi x = -2: 

Langkah 1 : Cari titik singgung dengan memasukkan nilai x = -2 
y = x2  
y = (-2)2 
y = 4
Jadi titik singgung : (-2, 4)

Langkah 2: Cari nilai gradien
f(x) = x2  
f '(x) = 2x
m = f '(-2) = 2(-2)
m = -4

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah : 
y – y1 = m(x – x1)
y − 4 = -4(x − (-2)) 
y - 4 = -4x - 8 
y = -4x - 4 

Soal No.6

---

Tentukanlah persamaan garis singgung untuk kurva y = 3 + 2x - x2 sejajar dengan garis 4x + y = 3 

Pembahasan

Langkah 1 : Cari nilai m1
y = 3 + 2x - x2 
m1 = f'(x) = -2x + 2 
m1 = -2x + 2 

Langkah 2 : Cari nilai m2
4x + y = 3 
y = -4x + 3 
m2 = -4 (Inga !! Jika y = ax + b ⇒ m = a )

Langkah 3 : Cari nilai x 
Karena kedua garis saling sejajar maka berlaku :
m1 = m2 
-2x + 2 = -4  
-2x = -6 
x = 3
Langkah 4 : Cari nilai y dengan memasukkan nilai x = 3
y = 3 + 2x - x2 
y = 3 + 2(3) - 32 
y = 3 + 6 - 9 
y = 0 

Sekarang kita telah memiliki titik singgung (3,0)

Langkah 4: Persamaan garis singgung 
y – y1 = m(x – x1)
y - 0 = -4(x - 3)
y = -4x + 12

Soal No.7

---

Carilah persamaan garis singgung pada kurva y = x3 + 10 di titik yang berordinat 18 ?

Pembahasan

Ordinat itu adalah sumbu-y, jadi y = 18 

Langkah 1 : Cari titik singgung dengan memasukkan nilai y = 18 
y = x3 + 10 
18 = x3 + 10 
x3 = 18 - 10 
x3 = 8 
x = 2 
Jadi titik singgung : (2,18)

Langkah 2: Cari nilai gradien
f(x) = x3 + 10 
f'(x) = 3x2 
m = f'(2) = 3(2)2 
m = 12 

Jadi,Persamaan garis singgungnya adalah y – y1 = m(x – x1)
y - 18 = 12(x - 2)
y - 8 = 12x - 24
y = 12x - 16

Soal No.8

---

Carilah persamaan garis singgung pada kurva y = x2 - x + 3 di titik yang berordinat 5 ?

Pembahasan

Ordinat itu adalah sumbu-y, jadi y = 5 

Langkah 1 : Cari titik singgung dengan memasukkan nilai y = 5 
y = x2 - x + 3 
5 = x2 - x + 3 
x2 - x + 3 - 5 = 0 
x2 - x - 2 = 0 
(x - 2)(x + 1) = 0 
x = 2 atau x = -1 
Jadi terdapat dua titik singgung : (2,5) atau (-1,5)

Langkah 2: Cari nilai gradien
Nilai gradien untuk x = 2
f(x) = x2 - x + 3 
f'(x) = 2x - 1 
m = f'(2) = 2(2) - 1 
m = 3

Nilai gradien untuk x = -1
f(x) = x2 - x + 3 
f'(x) = 2x - 1 
m = f'(-1) = 2(-1) - 1 
m = -3 

Langkah 3: Menentukan persamaan garis singgung 
Karena kita memiliki dua titik singgung, tentunya akan ada dua persamaan garis singgung 

Persamaan garis singgungnya untuk titik (2,5) dengan m = 3 
y – y1 = m(x – x1)
y - 5 = 3(x - 2) 
y = 3x - 6 + 5 
y = 3x - 1 

Persamaan garis singgungnya untuk titik (-1,5) dengan m = -3 
y – y1 = m(x – x1)
y - 5 = -3(x - (-1))
y - 5 = -3x - 3 
y = -3x + 2 

Jadi, ada dua persamaan garis singgung, yaitu y = 3x - 1 atau y = -3x + 2

Soal No.9

---

Carilah persamaan garis singgung pada kurva y = x2 - 5x + 6 jika gradien garis singgungnya adalah 3 ?

Pembahasan

Langkah 1: Cari titik singgungnya 
f(x) = x2 - 5x + 6 
f'(x) = 2x - 5 
m = f'(x) 
3 = 2x - 5 
2x = 3 + 5 
x = 4 

y = x2 - 5x + 6 
y = 42 - 5(4) + 6 
y = 16 - 20 + 6 
y = 2 

Jadi titik singgung : (4,2)

Langkah 2: Menentukan persamaan garis singgung 
y – y1 = m(x – x1)
y - 2 = 3(x - 4)
y - 2 = 3x - 12 
y = 3x - 10 

Soal No.10

---

Tentukanlah persamaan garis singgung kurva y = x3- 3x2 - 5x + 10 jika gradien garis singgungnya adalah 4 ? 

Pembahasan

Langkah 1: Cari titik singgungnya f(x) = x3 - 3x2 - 5x + 10 
f'(x) = 3x2 - 6x - 5 
m = f'(x) 
4 = 3x2 - 6x - 5 
3x2 - 6x - 9 = 0 (lalu kita bagi 3)
x2 - 2x - 3 = 0 
(x - 3)(x + 2) = 0 
x = 3 atau x = -2 

Untuk x = 3 
y = x3 - 3x2 - 5x + 10 
y = 33 - 3(3)2 - 5(3) + 10 
y = 27 -27 - 15 + 10 
y = -5 
Titik singgung pertama (3,-5)

Untuk x = -2 
y = x3 - 3x2 - 5x + 10 
y = (-2)3 - 3(-2)2 - 5(-2) + 10 
y = -8 - 12 + 10 + 10 
y = 0 
Titik singgung kedua (-2,0)

Langkah 2: Menentukan persamaan garis singgung 
Untuk titik singgung pertama (3,-5)
y – y1 = m(x – x1)
y – (-5) = 4(x – 3)
y + 5 = 4x -12 
y = 4x -17 

Untuk titik singgung kedua (-2,0)
y – y1 = m(x – x1)
y – 0 = 4(x – (-2))
y = 4x + 8 

Jadi ada dua persamaan garis singgung yaitu :
y = 4x -17 dan y = 4x + 8

Soal No.11

---

Tentukanlah persamaan garis singgung kurva y = 3 - x2 yang tegak lurus terhadap garis 4y = x + 1 ? 

Pembahasan

Langkah 1 : Cari nilai m1 
y = 3 - x2 
m1 = f'(x) = -2x 
m1 = -2x 

Langkah 2 : Cari nilai m2 
4y = x + 1 
y = 

1 4

x + 

1 4

m2 = 

1 4

(Ingat !! Jika y = ax + b ⇒ m = a)

Langkah 3 : Cari nilai x 
Karena kedua garis tegak lurus maka berlaku :
m1 . m2 = -1 
m1 . 

1 4

= -1 
m1 = -4 

Masukkan nilai m1 ke dalam persamaan langkah-1 :
m1 = -2x 
-4 = -2x 
x = 2 

Langkah 4 : Cari nilai y dengan memasukkan nilai x = 2
y = 3 - x2 
y = 3 - 22 
y = 3 - 4 
y = -1 
Jadi titik singgungnya : (2,-1)

Langkah 5 : Menentukan persamaan garis singgung 
y - y1 = m(x - x1) 
y - (-1) = -4(x - 2) 
y + 1 = -4x + 8 
y = -4x + 7 

Jadi persamaan garis singgungnya : y = -4x + 7

Soal No.12

---

Persamaan garis menyinggung kurva y = x2 - 3x - 4 di titik (4,0) adalah .....
a. y = 5x + 20 
b. y = 5x - 20 
c. y = -5x + 20 
d. y = -5x - 20 

Pembahasan

y = x2 - 3x - 4 
y' = 2x - 3 
m = y '(4) = 2(4) - 3 = 5 
m = 5 

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah :
y – y1 = m(x – x1)
y - 0 = 5 (x - 4) 
y = 5x - 20 

Jawab c:

Soal No.13

---

Tentukan gradien garis dengan persamaan berikut :
1.) y = 2x - 8 
2.) 4x - 2y + 6 = 0 
3.) 3y = 6x - 1 
4.) 7x - 14y + 2 = 0 

Pembahasan

1.) Untuk Persamaan : y = 2x - 8 

Jika persamaan y = ax + b ⇒ m = a 
y = 2x - 8  
m = 2

2.) Untuk Persamaan : 4x - 2y + 6 = 0 

Jika persamaan ax + by = c ⇒ m = -a b 
4x - 2y + 6 = 0 
m = -4 -2 
m = -(-2) 
m = 2 

3.) Untuk Persamaan : 3y = 6x - 1 

Jika persamaan ax + by = c ⇒ m = -a b 
3y = 6x - 1 
6x - 3y - 1 = 0 
m = -6 -3 
m = -(-2) 
m = 2 

4.) Untuk Persamaan : 7x - 14y + 2 = 0 

Jika persamaan ax + by = c ⇒ m = -a b 
7x - 14y + 2 = 0 
m = -7 -14 
m = -1 -2 
m =1 2

 

Contoh Soal menentukan persamaan garis singgung dan garis normal

Tentukan Persamaan garis singgung dan garis normal pada kurva y = x4 - 7x2 + 20 di titik yang berabsis 2 adalah...

Jawab : 

x = 2 y = x4 - 7x2 + 20  y = 24 - 7.22 + 20 = 16 - 28 + 20 = 8 titik singgung A(2,8)

Persamaan Garis singgung 

m = y' = 4x3 - 14 x = 4.23 - 14.2 = 32 - 28 = 4 , gradien, m = 4 melalui A(2,8) 

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah 

y - y1 = m(x - x1)

y - 8 = 4(x - 2)

y - 8 = 4x - 8

y = 4x  Persamaan garis singgung

Persamaan garis normal 

gradien garis singgung , m = 4, gradien garis normal 

Garis normal bergardien  melalui A(2,8) 

Jadi, persamaan garis Normalnya adalah 

 

 

DAFTAR PUSTAKA

https://sumberbelajar.belajar.kemdikbud.go.id/sumberbelajar/tampil/Garis-Singgung-dan-Garis-Normal-2016/menu3.html 

https://sumberbelajar.belajar.kemdikbud.go.id/sumberbelajar/tampil/Garis-Singgung-dan-Garis-Normal-2016/menu4.html 

https://bfl-definisi.blogspot.com/2018/10/soal-persamaan-garis-singgung-kurva.html