PENERAPAN TURUNAN: KEMONOTONAN, INTEFAL FUNGSI NAIK/TURUN KECEKUNGAN DI UJI TURUNAN KEDUA

 Nasywa Kayla Zahra (27) XI IPS 2 

MATEMATIKA

Assalamualaikum

Contoh Soal Pilihan Ganda dan Pembahasannya yang Berkaitan dengan Penerapan Turunan

Soal Nomor 1
Suatu perusahaan memproduksi $x$

 unit barang dengan biaya $(4x^2-8x+24)$ ribu rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp40.000,00 untuk tiap unit, maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah $\cdots \cdot$

A. Rp16.000,00                    D. Rp52.000,00
B. Rp32.000,00                    E. Rp64.000,00
C. Rp48.000,00

Pembahasan

Misalkan $f\left(x\right)$

 menyatakan total biaya produksi $x$ unit barang, $g\left(x\right)$ menyatakan harga jual $x$ unit barang dalam satuan ribu rupiah, dan $h\left(x\right)$ menyatakan keuntungan yang diperoleh atas penjualan $x$ unit barang, maka
$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& =x(4x^2-8x+24)\\ & =4x^3-8x^2+24x\\ g\left(x\right)& =40x\\ h\left(x\right)& =g\left(x\right)-f\left(x\right)\\ & =40x-(4x^3-8x^2+24x)\\ & =-4x^3+8x^2+16x\end{array}$
Agar maksimum, nilai turunan pertama $h^{\prime }\left(x\right)$ harus bernilai $0$. 
$\begin{array}{cc}h\left(x\right)& =-4x^3+8x^2+16x\\ h^{\prime }\left(x\right)& =-12x^2+16x+16\\ 0& =-12x^2+16x+16\\ \text{Bagi}& \text{kedua ruas dengan -4}\\ 0& =3x^2-4x-4\\ 0& =(3x+2)(x-2)\end{array}$
Diperoleh $x=-\frac{2}{3}$ atau $x=2$. Karena $x$ menyatakan jumlah barang dan nilainya tidak mungkin negatif/pecahan, maka $x$ yang diambil adalah $x=2$. 
Substitusikan $x=2$ ke $h\left(x\right)$. 
$\begin{array}{cc}h\left(2\right)& =-4(2{)}^3+8(2{)}^2+16\left(2\right)\\ & =-4\left(8\right)+8\left(4\right)+32=32\end{array}$

Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah Rp32.000,00.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 2
Suatu pembangunan proyek gedung sekolah dapat diselesaikan dalam $x$

 hari dengan biaya proyek per hari $(2x-600+\frac{30}{x})$ ribu rupiah. Agar biaya proyek minimum, proyek tersebut harus diselesaikan dalam waktu $\cdots$ hari. 
A. $80$                      C. $150$                       E. $320$
B. $100$                    D $240$

   

Pembahasan

Misalkan $f\left(x\right)$

 menyatakan biaya proyek selama $x$ hari dalam satuan ribu rupiah, sehingga
$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& =x(2x-600+\frac{30}{x})\\ & =2x^2-600x+30\end{array}$
Agar biaya proyek minimum, nilai $x$ yang bersesuaian dapat ditentukan saat $f^{\prime }\left(x\right)=0$, yakni
$\begin{array}{cc}4x-600& =0\\ 4x& =600\\ x& =150\end{array}$
Jadi, proyek tersebut harus diselesaikan dalam waktu $150\text{hari}$

 agar biaya proyeknya minimum.
(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 3
Proyek pembangunan suatu gedung dapat diselesaikan dalam $x$

 hari dengan menghabiskan biaya proyek per hari sebesar $(3x-180+\frac{5.000}{x})$ ratus ribu rupiah. Biaya minimum proyek pembangunan gedung tersebut adalah $\cdots$ juta rupiah. 
A. $220$                      C. $230$                  E. $280$   
B. $225$                      D. $260$

       

Pembahasan

Misalkan $f\left(x\right)$

 menyatakan biaya proyek selama $x$ hari dalam satuan ratus ribu rupiah, sehingga
$\begin{array}{cc}f\left(x\right)& =x(3x–180+\frac{5.000}{x})\\ & =3x^2-180x+5.000\end{array}$
Agar biaya proyek minimum, nilai $x$ yang bersesuaian dapat ditentukan saat $f^{\prime }\left(x\right)=0$, yakni
$\begin{array}{cc}6x-180& =0\\ 6x& =180\\ x& =30\end{array}$
Proyek tersebut harus diselesaikan dalam waktu 30 hari agar biaya proyeknya minimum. Biaya yang dimaksud sebesar 
$\begin{array}{cc}f\left(30\right)& =3(30{)}^2-180(30)+5.000\\ & =2.700-5.400+5.000=2.300\end{array}$
Jadi, biaya minimum proyek pembangunan gedung tersebut adalah $\text{230 juta rupiah}$

(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 4
Biaya untuk memproduksi $x$

 bungkus keripik tempe adalah $(\frac{1}{4}{x}^2+25x+25)$ ribu rupiah. Jika setiap bungkus keripik dijual dengan harga $(55-\frac{1}{2}x)$ ribu rupiah, maka keuntungan maksimum yang dapat diperoleh adalah $\cdots \cdot$

A. Rp225.000,00
B. Rp275.000,00
C. Rp375.000,00
D. Rp400.000,00
E. Rp425.000,00

Pembahasan

Fungsi pengeluaran dari kasus di atas adalah $f\left(x\right)=\frac{1}{4}{x}^2+25x+25$

, sedangkan fungsi penjualan sebanyak $x$ bungkus keripik tempe adalah $g\left(x\right)=x\cdot (55-\frac{1}{2}x)=55x-\frac{1}{2}{x}^2$. Karena keuntungan didapat dari hasil penjualan dikurangi pengeluaran (modal), maka kita peroleh fungsi keuntungan$$\begin{array}{cc}h\left(x\right)& =g\left(x\right)-f\left(x\right)\\ & =(55x-\frac{1}{2}{x}^2)-(\frac{1}{4}{x}^2+25x+25)\\ & =-\frac{3}{4}{x}^2+30x-25\end{array}$$Nilai fungsi $h$ akan maksimum ketika $h^{\prime }\left(x\right)=0$.
$$\begin{array}{cc}-\frac{3}{4}\left(2\right)x+30& =0\\ -\frac{3}{2}x& =-30\\ x& =30\times \frac{2}{3}\\ x& =20\end{array}$$Substitusi $x=20$ pada $h\left(x\right)$.
$$\begin{array}{cc}h\left(20\right)& =-\frac{3}{4}(20{)}^2+30(20)-25\\ & =-300+600-25=275\end{array}$$

Jadi, keuntungan maksimum yang diperoleh adalah Rp275.000,00.
(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 5
Sebuah peluru ditembakkan ke atas. Jika tinggi $h$

 meter setelah $t$ detik dirumuskan dengan $h\left(t\right)=120t-5t^2$, maka tinggi maksimum yang dicapai peluru tersebut adalah $\cdots$ meter. 
A. $270$                     C. $670$                  E. $770$
B. $320$                      D. $720$

   

Pembahasan

Diketahui: $h\left(t\right)=120t-5t^2$

. 
Turunan pertama fungsi $h$ adalah
$h^{\prime }\left(t\right)=120-10t$
Nilai $t$ akan maksimum saat $h^{\prime }\left(t\right)=0$, sehingga ditulis
$120–10t=0\iff 10t=120\iff t=12$
Ketinggian maksimum yang dapat dicapai peluru adalah saat $t=12$, yaitu
$\begin{array}{cc}h\left(12\right)& =120\left(12\right)-5(12{)}^2\\ & =1440-720=720\end{array}$ 
Jadi, ketinggian maksimum peluru adalah $720\text{meter}$

(Jawaban D)

[collapse]

Soal Nomor 6
Sebuah taman berbentuk persegi panjang dengan keliling $(2x+24)$

 meter dan lebar $(8-x)$ meter. Agar luas taman maksimum, panjang taman tersebut adalah $\cdots$ meter. 
A. $4$                      C. $10$                  E. $13$
B. $8$                      D. $12$

           

Pembahasan

Panjang taman tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan keliling dan lebarnya. 
$\begin{array}{cc}k& =2(p+l)\\ 2x+24& =2(p+8-x)\\ x+12& =p+8-x\\ p& =2x+4\end{array}$

Nyatakan luas persegi panjang sebagai fungsi terhadap variabel $x$.
$\begin{array}{cc}L\left(x\right)& =p\times l\\ & =(2x+4)(8-x)\\ & =-2x^2+12x+32\end{array}$ 
Luas akan maksimum saat $L^{\prime }\left(x\right)=0$, sehingga
$\begin{array}{cc}{L}^{\prime }\left(x\right)& =0\\ -4x+12& =0\\ 4x& =12\\ x& =3\end{array}$
Saat $x=3$, diperoleh
$\begin{array}{cc}p& =2x+4\\ p& =2\left(3\right)+4=10\end{array}$
Jadi, panjang taman tersebut adalah $10\text{meter}$

(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 7
Sebuah balok tanpa tutup tampak seperti gambar.

Jika kotak itu mempunyai volume ${\text{108 cm}}^3$

, maka agar luas permukaan kotak minimum, nilai $x$ adalah $\cdots \text{cm}$.
A. $3$                       C. $6$                   E. $12$
B. $4$                       D. $8$

         

Pembahasan

Nyatakan $t$

 dalam $x$ dengan menggunakan volume kotak berbentuk balok tersebut. 
$\begin{array}{cc}V& =108\\ x\cdot x\cdot t& =108\\ x^2\cdot t& =108\\ t& =\frac{108}{x^2}\end{array}$
Nyatakan luas permukaan ($L$) balok sebagai fungsi terhadap variabel $x$. 
$\begin{array}{cc}L\left(x\right)& =4(x\cdot t)+(x\cdot x)\\ & =4xt+x^2\\ & =4x\left(\frac{108}{x^2}\right)+x^2\\ & =432x^{-1}+x^2\end{array}$
Luas permukaan akan minimum saat $L^{\prime }\left(x\right)=0$, sehingga ditulis
$\begin{array}{cc}{L}^{\prime }\left(x\right)& =0\\ -432x^{-2}+2x& =0\\ 2x& =432x^{-2}\\ x^3& =216\\ x& =\sqrt[3]{3216}=6\end{array}$
Jadi, nilai $x$ agar luas permukaan kotak minimum adalah $6\text{cm}$

(Jawaban C)

[collapse]

Soal Nomor 8
Sebuah tabung tanpa tutup akan dibuat dari selembar aluminium seluas $300{\text{cm}}^2$

. Agar volume tabung maksimum, luas alas tabung adalah $\cdots {\text{cm}}^2$.
A. $100$                              D. $10\sqrt{\pi }$
B. $120$                              E. $20\sqrt{\pi }$
C. $100\pi$

Pembahasan

Nyatakan $t$

 (tinggi tabung) dalam $r$ (jari-jari tabung) dengan menggunakan luas permukaan tabung ($L$) tersebut. 
$\begin{array}{cc}L& =300\\ \pi r^2+2\pi rt& =300\\ 2\pi rt& =300-\pi r^2\\ t& =\frac{300-\pi r^2}{2\pi r}\end{array}$
Nyatakan volume tabung (V) sebagai fungsi terhadap variabel $r$.
$\begin{array}{cc}V\left(r\right)& =\pi r^{2}t\\ & ={\pi r^2}^{}\end{array}$$\begin{array}{c}{}^{}(\frac{300-\pi r^2}{2\pi r}\end{array}$$\begin{array}{c}\frac{}{})\\ & =\frac{r}{2}(300-\pi r^2)\\ & =150r-\frac{1}{2}\pi r^3\end{array}$
Volume tabung akan maksimum saat $V^{\prime }\left(x\right)=0$, sehingga ditulis
$\begin{array}{cc}{V}^{\prime }\left(x\right)& =0\\ 150-\frac{3}{2}\pi r^2& =0\\ \frac{3}{2}\pi r^2& =150\\ \pi r^2& =150\times \frac{2}{3}=100\end{array}$
Karena alas tabung berupa lingkaran dengan rumus luasnya $\pi r^2$, maka kita peroleh bahwa luas alas tabung agar volume tabung maksimum adalah $100{\text{cm}}^2$

(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 9 
Zhazha akan meniup karet berbentuk bola dengan menggunakan pompa untuk memasukkan udara. Bila laju pertambahan volume udara $40{\text{cm}}^3/\text{detik}$

 dan laju pertambahan jari-jari $20\text{cm}/\text{detik}$, maka panjang jari-jari bola adalah $\cdots \text{cm}$.
A. $\frac{1}{\sqrt{\pi }}$                            D. $\frac{1}{3\sqrt{\pi }}$
B. $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$                          E. $\pi$
C. $\frac{1}{2\sqrt{\pi }}$

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{array}{cc}\frac{\text{d}V}{\text{d}t}& =40{\text{cm}}^3/\text{detik}\\ \frac{\text{d}r}{\text{d}t}& =20\text{cm}/\text{detik}\end{array}$

Diketahui juga bahwa rumus volume bola ($V$) dinyatakan oleh
$V=\frac{4}{3}\pi r^3$, 
sehingga turunannya terhadap $r$ adalah
$\frac{\text{d}V}{\text{d}r}=4\pi r^2$
Untuk itu, dapat kita tuliskan
$\begin{array}{cc}\frac{\text{d}V}{\text{d}t}& =40\\ \frac{\text{d}V}{\text{d}r}\cdot \frac{\text{d}r}{\text{d}t}& =40\\ 4\pi r^2\cdot 20& =40\\ 80\pi r^2& =40\\ r^2& =\frac{1}{2\pi }\\ r& =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\end{array}$
Jadi, panjang jari-jari bola tersebut adalah $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$

(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 10
Dari kawat yang panjangnya $500$

 meter akan dibuat kerangka balok yang salah satu rusuknya $25$ meter. Jika volume baloknya maksimum, maka panjang dua rusuk lainnya adalah $\cdots$ meter. 
A. $10$ dan $90$                D. $40$ dan $60$
B. $15$ dan $85$                E. $50$ dan $50$
C. $25$ dan $75$

Pembahasan

Misalkan $p=25\text{meter}$

Nyatakan $l$ (lebar balok) dalam $t$ (tinggi balok) dengan menggunakan keliling balok ($k$) tersebut. 
$\begin{array}{cc}k& =500\\ 4(p+l+t)& =500\\ 25+l+t& =125\\ l+t& =100\\ l& =100-t\end{array}$
Nyatakan volume tabung ($V$) sebagai fungsi terhadap variabel $t$. 
$\begin{array}{cc}V\left(t\right)& =p\times l\times t\\ & =25\times (100-t)\times t\\ & =2.500t-25t^2\end{array}$
Volume balok akan maksimum saat $V^{\prime }\left(t\right)=0$, sehingga ditulis
$\begin{array}{cc}{V}^{\prime }\left(t\right)& =0\\ 2.500-50t& =0\\ 50t& =2.500\\ t& =50\end{array}$
Untuk $t=50$, maka $l=100-50=50$. 
Jadi, panjang dua rusuk lainnya adalah $50$

 meter.
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 11
Volume balok terbesar yang semua bidang sisinya mempunyai luas $96{\text{cm}}^2$

 dan alasnya persegi adalah $\cdots \cdot$
A. $54{\text{cm}}^3$                          D. $84{\text{cm}}^3$
B. $64{\text{cm}}^3$                          E. $94{\text{cm}}^3$
C. $74{\text{cm}}^3$

Pembahasan

Diketahui bahwa panjang dan lebar balok sama, yaitu $p=l=x$

.

Nyatakan $t$

 (tinggi balok) dalam $x$ dengan menggunakan luas permukaan balok ($L$) tersebut. 
$\begin{array}{cc}L& =2(pl+pt+lt)\\ 96& =2(x^2+tx+tx)\\ 48& =x^2+2tx\\ 2tx& =48-x^2\\ t& =\frac{48-x^2}{2x}\end{array}$
Selanjutnya, nyatakan volume balok ($V$) sebagai fungsi terhadap variabel $x$. 
$\begin{array}{cc}V\left(x\right)& =p\times l\times t\\ V\left(x\right)& =x\times x\end{array}$$\begin{array}{c}\times \frac{48-x^2}{2x}\end{array}$$\begin{array}{c}\frac{}{}\\ V\left(x\right)& =24x–\frac{1}{2}{x}^3\end{array}$
Volume balok akan maksimum saat $V^{\prime }\left(x\right)=0$, sehingga ditulis
$\begin{array}{cc}{V}^{\prime }\left(x\right)& =0\\ 24-\frac{3}{2}{x}^2& =0\\ \frac{3}{2}{x}^2& =24\\ x^2& =24\times \frac{2}{3}=16\\ x& =4\end{array}$
Jadi, volume balok terbesar adalah
$V\left(4\right)=24\left(4\right)-\frac{1}{2}(4{)}^3=96-32=64{\text{cm}}^3$

(Jawaban B)

[collapse]

Soal Nomor 12
Sebuah talang air berbentuk kerucut terbalik memiliki jari-jari $12\text{cm}$

 dan tinggi $18\text{cm}$. Perubahan kecepatan tinggi air sebesar $\frac{27}{100\pi }\text{cm}/\text{detik}$. Debit air saat mencapai tinggi $5\text{cm}$ adalah $\cdots {\text{cm}}^3/\text{detik}$. 
A. $3$                          C. $4$                      E. $5$
B. $3,5$                       D. $4,5$

          

Pembahasan

Diketahui:
$\begin{array}{cc}r& =12\text{cm}\\ h& =18\text{cm}\\ \frac{\text{d}h}{\text{d}t}& =\frac{27}{100\pi }\text{cm}/\text{detik}\end{array}$

Hubungan jari-jari dan tinggi kerucut diberikan oleh
$\frac{r}{h}=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}\iff r=\frac{2h}{3}$
Dengan demikian, volume kerucut bila dinyatakan sebagai fungsi terhadap variabel $h$ adalah
$\begin{array}{cc}V\left(h\right)& =\frac{1}{3}\pi r^{2}h\\ & =\frac{1}{3}\pi {\left(\frac{2h}{3}\right)}^{2}h\\ & =\frac{4\pi h^3}{27}\end{array}$
Turunan pertama $V$ terhadap $h$ adalah
$\frac{\text{d}V}{\text{d}h}=\frac{12\pi h^2}{27}=\frac{4\pi h^2}{9}$
Turunan pertama $V$ terhadap $t$ adalah
$\frac{\text{d}V}{\text{d}t}=\frac{\text{d}V}{\text{d}h}\cdot \frac{\text{d}h}{\text{d}t}=\frac{4\pi }{}$$\frac{h^2}{9}$$\frac{}{}\cdot \frac{{27}^{}}{}$$\frac{{}^{}}{100\pi }$$\frac{}{}=\frac{3h^2}{25}$
Untuk $h=5$, diperoleh
$\frac{\text{d}V}{\text{d}t}=\frac{3(5{)}^2}{25}=3$
Jadi, debit air saat mencapai tinggi $5\text{cm}$ adalah $3{\text{cm}}^3/\text{detik}$

.
(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 13
Selembar kertas HVS memiliki luas $54{\text{cm}}^2$

. Sukardi akan menggunakan kertas tersebut untuk mengetik surat undangan. Apabila margin (batas pengetikan) bagian atas dan bawah $1$ cm, sedangkan margin sampingnya $1,5$ cm, maka panjang dan lebar kertas agar luas daerah pengetikannya maksimum adalah $\cdots \cdot$
A. $9\times 6$                  D. $9\times 9$
B. $6\times 9$                  E. $12\times 6$
C. $6\times 6$

Pembahasan

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Misalkan $A$

 menyatakan luas kertas, $p$ menyatakan panjang kertas, dan $l$ menyatakan lebar kertas. Nyatakan $l$ dalam $p$ dengan menggunakan luas kertas yang diketahui nilainya. 
$\begin{array}{cc}A& =p\times l\\ 54& =p\times l\\ l& =\frac{54}{p}\end{array}$
Misalkan $L$ menyatakan luas daerah pengetikan. Nyatakan $L$ sebagai fungsi terhadap variabel $p$. 
$\begin{array}{cc}L\left(p\right)& =(p-3)(l–2)\\ & =(p-3)(\frac{54}{p}-2)\\ & =60-\frac{162}{p}–2p\end{array}$
Agar $L\left(p\right)$ maksimum, turunan pertamanya harus bernilai $0$. 
$\begin{array}{cc}{L}^{\prime }\left(p\right)& =0\\ \frac{162}{p^2}-2& =0\\ 2p^2& =162\\ p^2& =81\\ p& =9\end{array}$
Untuk $p=9$, berarti $l=\frac{54}{9}=6$
Jadi, panjang dan lebar kertas agar luas daerah pengetikan maksimum berturut-turut adalah $9\text{cm}$ dan $\text{6 cm}$

(Jawaban A)

[collapse]

Soal Nomor 14
Untuk memproduksi $x$

 unit pakaian dalam satu hari diperlukan biaya produksi $(x^2+4x-10)$ ratus ribu rupiah. Harga jual pakaian itu tiap unitnya adalah $(20-x)$ ratus ribu rupiah. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh setiap harinya adalah $\cdots \cdot$

A. Rp1.200.000,00        D. Rp2.000.000,00
B. Rp1.500.000,00        E. Rp2.200.000,00
C. Rp1.800.000,00

Pembahasan

Misalkan keuntungan ($U$

) dianggap sebagai fungsi terhadap variabel $x$ (ingat bahwa keuntungan didapat dengan mengurangi harga jual terhadap pengeluaran/biaya produksi), sehingga
$\begin{array}{cc}U\left(x\right)& =x(20-x)-(x^2+4x+10)\\ & =20x-x^2-x^2-4x+10\\ & =-2x^2+16x-10\end{array}$
Keuntungan akan maksimum apabila $U^{\prime }\left(x\right)=0$
$\begin{array}{cc}{U}^{\prime }\left(x\right)& =0\\ -4x+16& =0\\ 4x& =16\\ x& =4\end{array}$
Keuntungan maksimum tercapai saat memproduksi 4 unit pakaian, yaitu
$\begin{array}{cc}U\left(4\right)& =-2(4{)}^2+16(4)-10\\ & =-32+64-10=22\end{array}$

Jadi, keuntungan maksimum yang dapat diperoleh setiap harinya adalah Rp2.200.000,00.
(Jawaban E)

[collapse]

Soal Nomor 15
Dari selembar karton berbentuk persegi yang panjang sisinya $30$

 cm akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara menggunting empat persegi kecil di setiap pojok karton seperti gambar.

Volume kotak terbesar yang dapat dibuat adalah $\cdots {\text{cm}}^3$

.
A. $2.000$                           D. $5.000$
B. $3.000$                           E. $6.000$
C. $4.000$

Pembahasan

Misalkan panjang sisi persegi kecil adalah $x$

 cm (akan menjadi tinggi kotak) sehingga panjang dan lebar balok menjadi $(30-2x)$ cm. Perhatikan juga bahwa interval nilai $x$ yang mungkin adalah $0<x<15$. 
Nyatakan volume kotak/balok ($V$) sebagai fungsi terhadap variabel $x$. 
$\begin{array}{cc}V\left(x\right)& =plt\\ & =(30-2x)(30-2x)x\\ & =4x^3-120x^2+900x\end{array}$
Volume kotak akan maksimum apabila $V^{\prime }\left(x\right)=0$
$\begin{array}{cc}{V}^{\prime }\left(x\right)& =0\\ 12x^2-240x+900& =0\\ \text{Bagi kedua ruas}& \text{dengan 12}\\ x^2-20x+75& =0\\ (x-15)(x-5)& =0\end{array}$
Diperoleh $x=15$ (tidak memenuhi) atau $x=5$. 
Untuk $x=5$, diperoleh
$\begin{array}{cc}V\left(5\right)& =900\left(5\right)-120(5{)}^2+4(5{)}^3\\ & =4.500-3.000+500=2.000\end{array}$
Jadi, volume kotak terbesar yang dapat dibuat adalah $2.000{\text{cm}}^3$

(Jawaban A)

[collapse]

soal PTS semester 2

 SOAL PTS DAN PEMBAHASAN

Assalamualaikum wr.wb 

Nasywa Kayla Zahra

XI IPS 2

2. L persegi = s²

    f(x) = axⁿ  

    f'(x) = nx^n-1

    f (x) = x²

     f'(x) = 2x ^2-1 =2x

         x = 6  

    f'(6) = 2.6

            =12

3. Diketahui:

    P (t) = 10³ .t²  - 5 .10² .t + 10^6

    Ditanya:

    Laju pertumbuhan penduduk 5 tahun mendatang = ?

    Jawab:

    Laju perubahan pada t = 5 dihitung dengan  p' (5)

    P (t) = 10³ .t²  - 5 .10² .t + 10^6

    P' (t) = 2 . 10³  . t  - 5 .10²

    P' (5) = 2 . 10³ (5) - 5 . 10²

             = 10 . 10³ - 5 .10²

             = 10.000 - 500

             = 9.500. penduduk

      Jadi, laju pertumbuhan penduduk 5 tahun mendatang adalah *9.500. penduduk*

4. n = 2m - 40

    p = m² + n²

       = m² + (2m - 40)²

       = 5m² - 160m + 1600

    minimum saat p' = 0

       10m - 160 = 0

    m = 16

    n = 32 - 40 = - 8

    maka nilai minimumnya:

    p = 16² + (-8)² = 256 + 64 = 320

    Jawab :

    • f'(x) = 2ax + b

            2 = 2a(0) + b

            2 = 2+b

            b = 0

    • f(2) = a(2)²+ b(2) + c

          6 = 2a² + 2b + c

          6 = 2a² + c

          c = 6 - 2a²

         a² = c/2 - 3

         a  = c/2 / ½ - 3/½

    Jadi, a = c/2 / ½ - 3/½, b= 0, dan c = 6 - 2a²

1. Lim = 2x + 3 x²

     X →2

    = 2(2) + 3(2)²

    = 4 + 3(4)

    = 4 + 12

    = 16

2. Lim = (x²-5)³

     X →-3

     = ((-3)²- 5)²

     = (9-5)³

     = 4³

     = 64

MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI DENGAN TURUNAN PERTAMA DAN TURUNAN KEDUA

 Nasywa Kayla Zahra 

27

XI IPS 2

Assalamualaikum Wr.Wb

MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI DENGAN TURUNAN PERTAMA DAN TURUNAN KEDUA

Langkah - Langkah Menggambar Grafik Fungsi Menggunakan Turunan

Berikut langkah-langkah mengambar grafik suatu fungsi menggunakan turunan :

i). Menentukan titik potong (tipot) dengan sumbu-sumbu koordinat (sumbu X dan sumbu Y). Titik potong sumbu X, substitusi y=0y=0 . Titik potong sumbu Y, substitusi x=0x=0 .

ii). Menentukan titik-titik stasioner dan jenisnya (titik balik minimum, titik balik maksimum, dan titik belok).

iii). Menentukan titik bantuan lain agar grafiknya lebih mudah sketsa, atau bisa juga secara umum menentukan nilai yy untuk xx besar positif dan untuk xx besar negatif.Contoh :

1). Gambarlah grafik kurva y=3x2−x3y=3x2−x3.

Penyelesaian : i). Menentukan titik potong pada sumbu-sumbu : *). Tipot sumbu X, substitusi y=0

y=0 y=0→y 0=3x2−x3

3x2−x3=0

x2(3−x)

x=0 ∨ x =3

Sehingga titik potong sumbu X adalah (0,0) dan (3,0). *). Tipot sumbu Y, substitusi x=0

y=3x2−x3 = 3.02−03 = 0y = 3x2−x3 = 3.02−03 = 0

Sehingga titik potong sumbu Y adalah (0,0).

ii). Menentukan titik-titik stasioner,

Fungsi : y=3x2−x3 f′(x)=6x−3x2f′(x)=6x−3x2 dan f′′(x)=6−6x

*). Syarat stasioner : f′(x)=0

f′(x)=0 6x−3x2=0

3x(2−x)=0

x=0 v x =2

Untuk x=0x=0 , nilai stasionernya f(0)=3.02−03=0 titik stasionernya (0,0) . Untuk x=2x=2 , nilai stasionernya f(2)=3.22−23=4 titik stasionernya (2,4).

*). Menentukan jenis stasionernya, gunakan turunan kedua : f′′(x)=6−6xf′′(x)=6−6x Untuk x=0→f′′(0)=6−6.0=6x=0→f′′(0)=6−6.0=6 (positif) , jenisnya minimum. Untuk x=2→f′′(2)=6−6.2=−6x=2→f′′(2)=6−6.2=−6 (negatif) , jenisnya maksimum. Artinya titik (0,0) adalah titik balik minimum dan titik (2,4) adalah titik balik maksimum.

iii). Berdasarkan fungsi y=3x2−x3,y=3x2−x3, kita substitusi beberapa nilai xx yaitu : Untuk xx semakin besar, nilai yy semakin besar negatif (ke bawah) dan untuk xxsemakin kecil, nilai yy semakin besar positif (ke atas).

CONTOH SOAL

Gambarkan grafik berikut dengan menggunakan konsep turunan.

Titik stasioner diperoleh berada di titik (1, -1) sebagai berikut:

Interval naik atau turun pada fungsi:

Pada fungsi tidak terdapat titik belok karena 2 tidak sama dengan nol, sepertii berikut:

Titik optimum berada di titik (1, -1) dengan melakukan uji titik stasioner ke turunan kedua fungsi, , dimana f''(x)=2>0. Sehingga grafik fungsi dengan konsep turunan pada soal dapat kita gambarkan seperti di bawah ini: