pengalaman belajar matematika: Integral tak tentu bersama sifat-sifatnya beserta contoh soalnya

Nasywa Kayla Zahra (27) XI IPS 2

Assalamualaikum wr.wb

INTEGRAL TAK TENTU BERSAMA SIFAT-SIFATNYA BESERTA CONTOH SOALNYA

Integral Tak Tentu : Pengertian, Rumus, Sifat dan Contoh Soal

Integral tak tentu (bahasa Inggris: indefinite integral) atau antiderivatif adalah suatu bentuk operasi pengintegralan suatu fungsi yang menghasilkan suatu fungsi baru. Fungsi ini belum memiliki nilai pasti (berupa variabel) sehingga cara pengintegralan yang menghasilkan fungsi tak tentu ini disebut “integral tak tentu”.

Bila f adalah integral tak tentu dari suatu fungsi F maka F’= f. Proses untuk memecahkan antiderivatif adalah antidiferensiasi Antiderivatif yang terkait dengan pasti integral melalui “Teorema dasar kalkulus”, dan memberikan cara mudah untuk menghitung integral dari berbagai fungsi.

Seperti yang telah disebutkan sebelumya, Integral tak tentu atau yang dalam bahasa Inggris biasa disebut sebagai Indefinite Integral maupun ada juga yang menyebutnya sebagai Antiderivatif merupakan sebuah bentuk operasi pengintegralan pada suatu fungsi yang menghasilkan suatu fungsi baru.

Fungsi ini belum mempunyai nilai pasti sampai cara pengintegralan yang menghasilkan fungsi tidak tentu ini disebut sebagai integral tak tentu. Apabila f berwujud integral tak tentu dari sebuah fungsi F maka F’= f.

Proses memecahkan antiderivatif adalah antidiferensiasi Antiderivatif yang berhubungan dengan integral lewat “Teorema dasar kalkulus”. Serta memberi cara mudah untuk menghitung integral dari berbagai fungsi.

Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, integral tak tentu dalam matematika merupakan invers/kebalikan dari turunan.Turunan dari sebuah fungsi, apabila diintegralkan akan menghasilkan fungsi itu sendiri.

Mari perhatikan baik-baik contoh dari beberapa turunan dalam fungsi aljabar di bawah ini:

Turunan dari fungsi aljabar y = x3 adalah yI = 3x2
Turunan dari fungsi aljabar y = x3 + 8 adalah yI = 3x2
Turunan dari fungsi aljabar y = x3 + 17 adalah yI = 3x2
Turunan dari fungsi aljabar y = x3 – 6 adalah yI = 3x2

Seperti yang telah kita pelajari pada materi turunan, variabel dalam sebuah fungsi akan mengalami penurunan pangkat.

Berdasarkan contoh di atas, maka dapat kita ketahui jika terdapat banyak fungsi yang mempunyai hasil turunan yang sama yakni yI = 3x2.

Fungsi dari variabel x3 maupun fungsi dari variabel x3 yang dikurang atau ditambah pada sebuah bilangan (contohnya: +8, +17, atau -6) mempunyai turunan yang sama.

Apabila turunan itu kita integralkan, maka harusnya akan menjadi fungsi-fungsi awal sebelum diturunkan.

Tetapi, dalam kasus yang tidak diketahui fungsi awal dari sebuah turunan, maka hasil integral dari turunan tersebut bisa kita tulis menjadi:

f(x) = y = x3 + C

Dengan nilai C dapat berapa pun. Notasi C ini juga disebut sebagai konstanta integral. Integral tak tentu dari sebuah fungsi dinotasikan seperti berikut:

Dalam notasi di atas dapat kita baca integral terhadap x”. notasi disebut integran. Secara umum integral dari fungsi f(x) merupakan penjumlahan F(x) dengan C atau:

Sebab integral dan juga turunan saling berkaitan, maka rumus integral bisa didapatkan dari rumusan penurunan. Apabila turunan:

Maka rumus integral aljabar didapatkan:

dengan syarat apabila n ≠ 1

Cara Membaca Integral Tak Tentu

Setelah membaca uraian di atas, taukah kalian cara membaca kalimat integral? Integral di baca seperti ini:

baca yang di baca Integral Tak Tentu Dari Fungsi f(x) Terhadap Variabel X.

Sifat Integral

Berikut ini beberapa sifat integral.

$\int_a^a f(x) \, dx = 0$

$\int_a^b f(x) \, dx = - \int_b^a f(x) \, dx$

$\int_a^b k f(x) \, dx = k \int_a^b f(x) dx$

$\int_a^b (f(x) + g(x)) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_a^b g(x) \, dx$

$\int_a^b (f(x) - g(x)) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx - \int_a^b g(x) \, dx$

Jika $a<b<c$ , maka

$\int_a^c f(x) \, dx = \int_a^b f(x) + \int_b^c f(x)$

Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar

Rumus

Berikut ini Rumus dari Integral Tak Tentu

$\int f(x) \, dx = F(x) + C$

Keterangan

$f(x)$ = persamaan kurva
$F(x)$ = luasan di bawah kurva f`(x)
$C$ = konstanta

Sifat

Pada integral tak tentu berlaku sifat berikut

$\int ax^n \, dx = \frac{a}{n+1}x^(n+1)+C$

$\int k f(x) \, dx = k \int f(x) dx$

$\int (f(x) + g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx + \int_a^b g(x) \, dx$

$\int (f(x) - g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx - \int_a^b g(x) \, dx$

Contoh

Berikut ini contoh dari Integral Tak Tentu

$\int (2x+5)dx = 2x^2+5x+c$

$\int (3x-3)dx = x^3-5x+c$

Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri

Pada fungsi trigonometri berlaku integral tak tentu sebagai berikut

$\int cos x \, dx = sin x + C$

$\int sin x \, dx = - cos x + C$

$\int cos(ax+b)dx = \frac{1}{a}sin(ax+b)+C$

$\int sin(ax+b)dx = - \frac{1}{a}cos(ax+b)+C$

CONTOH SOAL INTEGRAL TAK TENTU

1. Tentukan hasil dari ʃ 3x2 dx !

Pembahasan

Jadi, hasil dari ʃ 3x2 dx adalah x3 + C.

2. Carilah hasil integral tak tentu dari ʃ 8x3 – 6x2 + 4x – 2 dx.

Pembahasan

Jadi hasil dari ʃ 8x3 – 6x2 + 4x – 2 dx adalah 2x4 – 2x3 + 2x2 – 2x + C.

3. Tentukan nilai dari ʃ 4 sin x + 7 cos x dx !

Pembahasan

ʃ sin x dx = – cos x + C

ʃ cos x dx = sin x + C

Maka:

ʃ 4 sin x + 7 cos x dx = – 4cos x + 7sin x + C

Jadi, nilai dari nilai dari ʃ 4 sin x + 7 cos x dx adalah – 4cos x + 7sin x + C.

4. Carilah nilai dari ʃ (3x-2)(x+6) dx

Pembahasan

(3x-2)(x+6) = 3x2 + 18x – 2x -12 = 3x2 + 16x -12

Jadi, hasil dari ʃ (3x-2)(x+6) dx adalah x3 + 8x2 – 12x + C.

5. Hitunglah nilai dari ʃ dx/(3x2) !

Pembahasan

ʃ dx/(3x2) = ʃ ⅓ x–2 dx

Jadi, nilai dari ʃ dx/(3x2) adalah – 1/(3x) + C.

6. Carilah nilai dari ʃ -5 sin x + 3 cos x – 4 dx!

Pembahasan

Ingat!

ʃ sin x dx = – cos x + C

ʃ cos x dx = sin x + C

Maka:

ʃ -5 sin x + 3 cos x – 4 dx = (-5) ( -cos x) + 3 (sin x) – 4 + C

ʃ -5 sin x + 3 cos x – 4 dx = 5 cos x + 3 sin x – 4 + C

Jadi, nilai dari ʃ -5 sin x + 3 cos x – 4 dx adalah 5 cos x + 3 sin x – 4 + C.

7. Tentukan nilai dari ʃ (4x+3)7 dx

Pembahasan

Jadi nilai dari ʃ (4x+3)7 dx adalah 1/32 (4x+3)8 + C

pengalaman belajar matematika

Senin, 22 Maret 2021

Integral tak tentu bersama sifat-sifatnya beserta contoh soalnya

INTEGRAL TAK TENTU BERSAMA SIFAT-SIFATNYA BESERTA CONTOH SOALNYA

Integral Tak Tentu : Pengertian, Rumus, Sifat dan Contoh Soal

Sifat Integral

Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar

Rumus

Sifat

Contoh

Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri

Tidak ada komentar:

Posting Komentar